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应力状态和强理论第1页/共128页 2§7-1 概述 在第二章和第三章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力不同。第七章 应力状态和强度理论第2页/共128页 3第七章 应力状态和强度理论Ⅰ. 应力状态的概念 一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。 Ⅱ.一点应力状态的表示方法—— 应力单元体 由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体── 单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态(state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力来表示。第3页/共128页 4受轴向拉( 压)杆单向应力状态第七章 应力状态和强度理论受扭杆件2143122143纯剪切应力状态第4页/共128页 5横力弯曲杆件平面应力状态第七章 应力状态和强度理论BCBC第5页/共128页 6Ⅲ. 应力状态的分类一点处切应力等于零的截面称为主平面(principal plane)，主平面上的正应力称为主应力(principal stress)。 在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作s1，s2，s3。第七章 应力状态和强度理论第6页/共128页 7钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。当三个主应力中只有一个主应力不等于零时为单向应力状态；当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；第七章 应力状态和强度理论CC第7页/共128页 8平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是s1，也可能是s2或s3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。第七章 应力状态和强度理论第8页/共128页 9研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以： 1. 了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45?斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45? 方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。 2. 在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论)(theory of strength, failure criterion)的基础。第七章 应力状态和强度理论第9页/共128页 10 本章将研究 Ⅰ.平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态) 的概念；Ⅱ.平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系——广义胡克定律(generalized Hooke’s law)，以及这类应力状态下的应变能密度(strain energy density)；Ⅲ.强度理论。第七章 应力状态和强度理论第10页/共128页 11§7-2 平面应力状态的应力分析·主应力等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态。第七章 应力状态和强度理论第11页/共128页 12 对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面应力状态。(a)(c)(b)第七章 应力状态和强度理论第12页/共128页 13 平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。第七章 应力状态和强度理论第13页/共128页 14Ⅰ. 斜截面上的应力第七章 应力状态和强度理论 图b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef 以它的外法线n与x轴的夹角a 定义，且a角以自x 轴逆时针转至外法线n为正；斜截面上图中所示的正应力sa 和切应力ta均为正值，即sa 以拉应力为正，ta以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。第14页/共128页 15 由图c知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dA·cosa，而底面bf 的面积为dA·sina。图d示出了作用于体元ebf 诸面上的力。体元的平衡方程为第七章 应力状态和强度理论第15页/共128页 16 需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力ty按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向，故方程中的ty仅指其值。也正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是tx=ty。 由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2a为参