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导数与数列不等式的综合证明问题 典例：（2017全国卷3,21）已知函数 。 （1）若 ，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n ，求m的最小值。 分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得 ； (2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数 的最小值为 （1）的定义域为. = 1 \* GB3 ①若，因为，所以不满足题意； = 2 \* GB3 ②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点. 由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1. 练习1：已知函数，在时取得极值. 求实数的值； 设，求的最小值； 若数列满足，数列的前和 ，求证：. 整理：在证明中要对证明的式子进行简单的处理为，否则直接另很唐突. 练习2：已知函数. （1）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围； （2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围，并且判断代数式与的大小. 分析：解：（Ⅰ）因为，，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以函数在处取得极大值. 因为函数在区间上存在极值， 所以 解得 （Ⅱ）不等式即为 记， 所以. 令，则，，， 在上单调递增， ，从而， 故在上也单调递增，所以 所以；由上述知恒成立， 即， （此处采用了放缩法，是处理问题的关键） 令，则， ∴ ，，，…， ， 叠加得 . 则， 所以．
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