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球面上的几何第1页/共103页第2页/共103页《普通高中数学课程标准（实验）》 系列3-3 球面上的几何 内容与要求1.通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几何知识的必要性。2.通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同。例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。3.通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。2012年8月第3页/共103页《普通高中数学课程标准（实验）》2012年8月第4页/共103页1.《普通高中数学课程标准（实验）》2012年8月第5页/共103页《普通高中数学课程标准（实验）》10.体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。11.初步了解另一种非欧几何模型——庞加莱模型。12.完成一个学习总结报告。2012年8月第6页/共103页2.球面几何概述16世纪，麦哲伦不畏艰难的进行了历史上重大的探险——绕地球航行了一圈，这个举动不仅将地理大发现带上了最高点，同时也为地圆学说提出了一个客观的实证，为建立新的天文学与地理学奠定了基础，对近代科学的发展有非同一般的意义。 2012年8月第7页/共103页球面几何概述在17世纪，高斯曾经利用测量面积的方法验证了地球是圆的，他在地表上取三点，并切割成许多小三角形，再量取每个小三角形的面积并加起来，这样所得的结果并不近似于直接用平面上的三角形面积公式计算的结果，而是近似于用球面三角形的面积公式计算的结果。 2012年8月第8页/共103页球面几何概述我们生活在地球上，地球表面十分接近于一个球面。因此，在实际生活中，球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的实际应用。例如，大地（天体）测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识。在理论上，球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几何模型，是一个重要非欧几何的数学模型，球面几何在几何学的理论研究方面，具有特殊的作用。2012年8月第9页/共103页球面几何概述球面几何与球面三角学球面几何：几何学的一门分科，研究球面上图形的几何学，是古代从研究天体在天球上的“视运动”发展起来的，其中专门研究球面上三角形的性质的称为“球面三角”，它在天文学、测地法、航海术中被广泛应用。1595年，法国数学家波蒂斯楚克在《三角学：解三角形的简明处理》一书中首先使用这一术语，三角学是以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。 2012年8月第10页/共103页球面几何概述球面几何学的发展历程早期三角学不是一门独立的学科而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法。因而最先发展起来的是球面三角学。毕达哥拉斯学派却已经积累了许多球面大圆和球面三角形的知识。早在公元前3世纪成书的几何《原本》第十一篇“立体几何”中，已给出了球的定义；第十二篇关于面积和体积的命题中，用“穷竭法”证明了球（体积）之比等于其直径的三次比。 2012年8月第11页/共103页球面几何概述球面几何学的发展历程直到亚历山大里亚时期，希腊定量几何中一门全新的学科——三角学才逐渐创立希腊三角在梅内劳斯时达到顶点，他的主要著作是《球面学》而在公元499年印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想，其后的瓦拉哈米希拉最旱引入正弦概念，并给出最早的正弦表。 2012年8月第12页/共103页球面几何概述球面几何学的发展历程球面三角学的发展及其在天文上的应用在埃及人托勒密的著作《数学汇编》中达到顶峰直到1450年以前，三角术仍是球面三角。直到纳西尔丁的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学成为纯粹数学的一个独立分支1464年，德国数学家里基奥蒙田纳斯完成了他的名著《论一般三角形》，正式使三角学脱离天文学而成为独立的科目。 2012年8月第13页/共103页球面几何概述球面几何学的发展历程现代球面三角的创始人是俄国科学院院士欧拉。他使研究三角形的三角学进一步演变成研究三角函数及其应用的分析学的分支。至于球面三角的更为广泛的研究，则是由德国数学家高斯、斯太纳及俄国天才数学家罗巴切夫斯基继续完成。 2012年8月第14页/共103页球面几何概述球面上的一些基本图形大圆与小圆：球面上的大圆是指一个过球心的平面在球面上的截线。球面上不是大圆的圆叫小圆。2012年8月第15页/共103页球面角球面上一点及过该点的任意两个大圆弧构成的图形称为球面角这两条大圆弧的切线间的夹角即为该球面角的大小2012年8月第16页/共103页第17页/共103页球面多边形球面上由大圆弧所构成的封闭图形称为球面多边形。球面多边形的边,必须是大圆的圆弧。任意两个不同大圆的两个交点是球面上的一对对径点，即球的同一条直径的两个端点称为一对