2023年全国高中数学联赛（四川预赛）（参考答案及评分细则）.pdf

2023 年全国高中数学联赛 （四川预赛）试题 参考答案及评分标准 说明： 1、本试卷满分120，其中填空题64 分，解答题56 分. 2、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设8 分和0 分两档；第9 题4 分一个档次、 第10 题和第11 题均为5 分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增 加其它中间档次. 3、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考 本评分标准评分. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1 2e 5 2 25 1、 2 、7 3、21600 4 、 、552 6、 7、 8、( ,6) . 3 2 2 2 16 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9、（本题满分 16 分）已知抛物线 的顶点是原点O，焦点是F(0,1) . 过直线y 2 上 任意一点A作抛物线 的两条切线，切点分别为P 、Q，求证： （1）直线PQ 过定点； （2 ）PFQ 2PAQ . 2 证明：（1）易得抛物线 的方程为x 4y . 设点At( , 2) ，P(x , y ) ，Q(x , y ) ， 1 1 2 2 x 则过点P 的抛物线 的切线l 的方程为：y y 1 (x x ) ， 1 1 1 2 即xx2y2y 0 . ……4 分 1 1 同理，过点Q的抛物线 的切线l 的方程为：xx2y2y 0 . 2 2 2 由l 、l 过点A ，可得xt 4 2y 0 ，xt 4 2y 0 ， 1 2 1 1 2 2 这表明，点P(x , y ) 、Q(x , y ) 的坐标满足方程：tx2 y4 0 ， 1 1 2 2 ∴ 直线PQ 的方程为：tx2 y4 0 . ∴易得直线PQ 过定点(0,2) . ……8 分 （2 ）不妨设P 在Q的左边，则x  x . 1 2 x x 1 2 