《中国古代数学思想》读书笔记（14）.pdfVIP

《中国古代数学思想》读书笔记（14 ） 第四章：数学思想的理论奠基——刘徽的数学思想。本篇记录此 章第 3 节的第 1、2 部分。 4.3 极限（无限）思想——前无古人的算法 刘徽是把极限思想具体化为数学方法并在数学中加以运用的第一 人，这一点是具有世界历史意义的。按：如前所述，这种说法是不对 的。欧多克索斯和欧几里得的穷竭法是对极限思想更严密的运用，他 们和阿基米德都在刘徽之前。 在《九章算术》注中，可以说在所有需要以极限思想来解决的问 题他都使用了明确的极限方法。我们以圆田术注（即著名的割圆术）、 刘徽原理证明和开方不尽数的处理为例探讨刘徽的极限思想。 1、割圆术 方田章圆田术曰：“半周半径相乘得积步。”刘徽在后面写下注 文： “又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。 若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之 幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体 而无所失矣。觚面之外，又有余径。以面乘余径，则幂出觚表。若夫 觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一 面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。” 从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，用勾股定理，求出正 12 边形、24 边形……每边的长，这种边数加倍的作法叫做“割”。边 数越多，正多边形与圆的差就越少，最后分到不可再分，多边形就与 圆重合，没有误差了。按：这是个好思想，但绝不是独一无二的思想。 作者以为别人没想到？《几何原本》第 12 篇的命题 2 是：圆与圆的面 积之比等于其直径平方之比。证明用的是穷竭法，就是把圆内接多边 形的边数不断加倍，证明圆和某一边数足够多的正多边形面积之差可 以比任何给定的量还要小。见我的《古今数学思想》读书笔记的第 11 篇。欧几里得不但想到了割圆术，而且对此给出了精确的数学描述， 比刘徽高明很多！ “割之又割，以至于不可割”非常形象地表现出庄子所说“日取 其半，万世不竭”的极限思想。按：这不是自打耳光？不可割到底是 可以达到，还是永远达不到？作者没发现这两种说法是正相矛盾的吗？ 还隐含了“无论怎样割——无论多边形的边取得多么多，实际上 都不能与圆重合；只是到了‘不可割’的情况即边数无限增多时，多 边形以圆为极限”。这里真正运用了极限思想，并把圆作为多边形的 极限。按：不客气地说，作者认为的这段隐含的话只能在直观上理解， 如果要认真分析，就会发现它含糊不清。如果不是这样，牛顿、莱布 尼茨的微积分也不会被攻击那么久了。在柯西、维尔斯特拉斯给出极 限的严密定义之前，所有关于极限的直观陈述都是像这样似乎有理， 又含糊不清的。唯一精确的是古希腊的穷竭法，而它之所以精确，正 是因为它跟现代的极限定义一样，使用了 ε-δ语言！比刘徽不知高到 哪里去了！ 刘徽在求圆面积的过程中又同时解决了圆周率的计算问题，并且 得出了古代世界一个非常好的圆周率成果：π 3.14。按：这个结果 确实很了不起，不过也不是独一无二的。阿基米德用类似的割圆方法 得 出 圆 周 率 大 于 3 又 10/71 （3.1408450704225352112676056338028 ），小于 3 又 1 /7 （3.1428571428571428571428571428571 ）。 2、刘徽原理证明 这是刘徽在商功章阳马术的注文中提出并证明的关于体积公式的 最基本的原理。 “今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？ 答曰：九十三尺少半尺。 术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。 按：此术阳马之形，方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马。假令广 袤各一尺，高一尺，相乘，得立方积一尺。邪解立方，得两堑堵；邪 解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。 合两鳖臑成一阳马，合三阳马而成一立方，故三而一。验之以棋，其 形露矣。悉割阳马，凡为六鳖臑。观其割分，则体势互通，盖易了 也。” 这个算法可以表示为 Vy = abh/3 （a、b 分别为阳马底面的长和宽，h 为阳马的高） 阳马是底