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第五章 定积分及其应用第三节 微积分基本定理教 学 基 本 信 息 教学课题 第三节 微积分基本定理 教学重点 微积分基本公式 教学难点 变上限积分函数及导数 1.变上限积分函数的定义. 教学内容 2.变上限积分函数的导数. 3 .微积分基本定理. 教学时间 45 分钟 教学对象 高职高专学生 教学要求双语教学 理解变上限积分函数定义及其导数； 熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式的应用 . 微积分：Calculus; 变上限积分函数：Integration of variable upper limit function； 导数 Derivative； 牛顿－莱布尼兹:Newton-Leibniz. 教 学 过 程 一、复习 定积分的定义 定积分的几何意义3．定积分的性质 二、引入新课 一蝴蝶在一正弦形 y ? sin x, x ?[0,? ] 花带中飞行，求蝴蝶活动的区域面积？ 备 注 引入问题,激起兴趣, 案例教学法 问题 1：蝴蝶活动的区域面积如何表示？学生回答： S ? ? ?sin xdx 0 问题 2：能否用定积分的定义求出积分值？ 学生回答：不能。因为在求积分和时不易计算。 有没有简单的方法求出这个积分值呢？有。通过“微积分基本定理”的学习。我们将给出求定积分的一种简单方法。 三、探究 感性认识变上限积分函数 92 第 1 页 共 5 页 例如 ?1 xdx ? 1 0 2 ? 2 xdx ? 2 ?3 xdx ? 9 0 0 2 … 下限是一常数,给出一个上 限 x ,通过求对应的定积分.有唯一确定的一个积分值 y 与之对应. y ? ?x tdt 是一个 0 以 x 为自变量的函数。 1、变上限积分函数的定义 定义 1：设 f (x) 为区间[a, b] 上的连续函数,任取 x ?[a, b] 都有唯一确定的 定积分 ?x f (x)dx(? ?x a a f (t)dt) 与之对应 .这种对应满足函数的定义 .因此,它是定义在区间 [a, b] 上的函数.记为: ? (x) ? ?x a f (t)dt y ?(x) o a x x b （其几何意义如图） 形如? (x) ? ?x a f (t)dt形式的函数称为变上限积分函数。  提 问 学 例 1 判断下列函数是否为变上限积分函数 ?(x) ? ?x et dt ?(x) ? ?a et dt ?(x) ? ?x cos xdt ?(x) ? ?2 x cos xdt a x a a (提问学生，询问原因) 通过例题讲解.使学生进一步体会变上限积分函数的特征: 下限是一常数,上限只有一个自变量 x .同时,这是一类函数.这类函数如同其它函数一样,可以计算求其定义域,值域…在这我们根据需要,只学习它的一条性质---导数.从而引出 2、变上限积分函数的导数 生，询问 原因 定理1 如果f(x) 在[a, b] 上连续，则变上限积分函数?(x) ? ?x a f (t)dt 在[a, b] 上可导,且 ??(x) ? d ?x dx a f (t)dt ? f (x)，x ?[a, b] 对于定理的证明不要求掌握. 提 问 学 例 2 求下列函数的导数 生，询问 ?(x) ? ?x et dt (2) ?(x) ? ?0 ? arctan tdt 原因 a x 教 师 根 (提问学生，询问原因) 据 学 生 92 1310291 第 2 页 共 5 页 解: (1) ? ?（x）? (?x et dt)? ? ex a ? ?（x）? (?x arctan tdt)? ? arctan x 0 ?x arctan tdt 例 3 计算lim 0 的值 x?0 x 2 回 答 总结答案 问题驱动法（加深理解） 解: lim ?x arctan tdt 0  ? lim arctan x ? 1 x?0 x 2 x?0 2x 2 该题进一步深化对变上限积分函数是一类函数的理解 .同时加深了变上限积分函数的性质的应用. 定理 2（原函数存在定理） 如果f(x) 在[a, b] 上连续，则函数? (x) ? ?x a f (t)dt是f(x)在区间[a, b]上的一个原函数. 定理的重要意义： 肯定了连续函数的原函数是存在的. 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 3、微积分基本定理 如 果 F (x) 是 连 续 函 数 f (x) 在 区 间 [a, b] 上 的 一 个 原 函 数 。 则 ?b f (x)dx ? F (b) ? F (a) a 证 ? 已知 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 又? ?(x) ? ?x a f (t)dt 也是 f (x) 的一个原函数, 则 F (