高中：第九章分层随机抽样.docx

9.1.2　分层随机抽样 学习目标　1.理解分层随机抽样的概念.2.掌握用分层随机抽样从总体中抽取样本.3.掌握两种抽样的区别与联系． 导语　 抽样调查最核心的问题是样本的代表性．简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本．例如，在对某中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形．这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差．能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？ 一、分层随机抽样的定义 问题1　某中学高一年级共有712名学生，男生有326名，女生有386名，若要抽取50名学生的身高作为样本，用简单随机抽样可以吗？为什么？如何去抽取比较合理？ 提示　不可以直接使用简单随机抽样，因为抽样结果的随机性个体差异较大．可以将男生和女生看作两个群体，分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本，即采用分层随机抽样的方法． n男＝eq \f(326,712)×50≈23，n女＝eq \f(386,712)×50≈27. 知识梳理　 分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 例1　某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是(　　) A．抽签法 B．随机数法 C．分层随机抽样 D．其他抽样方法 答案　C 解析　由于老年教师、中年教师和青年教师的身体情况会有明显的差异，所以要用分层随机抽样． 反思感悟　使用分层随机抽样的前提 分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小． 跟踪训练1　分层随机抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行(　　) A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样 C．所有层按比例分配等可能抽样 D．所有层抽取个体数量相同 答案　C 解析　保证每个个体等可能地被抽取是两种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按比例分配等可能抽样． 二、分层随机抽样的应用 问题2　你能总结一下按比例分层随机抽样的步骤吗？ 提示　按比例分层随机抽样的实施步骤： 第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)； 第二步，计算各层所占比例．所占比例＝eq \f(各层总的个体数,总体中的个体数)； 第三步，计算各层抽取的个体数，各层抽取的个体数＝样本量×各层所占比例； 第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本； 第五步，综合每层抽样，组成总样本． 例2　某地甲、乙、丙三所学校举行校级联考，三所学校参加联考的人数分别为300,400,500，现为了调查联考数学学科的成绩，采用按比例分配分层随机抽样的方法在这三所学校中抽取一个容量为120的样本，那么在乙学校中抽取的数学成绩的份数为(　　) A．30 B．40 C．50 D．80 答案　B 解析　甲、乙、丙三所学校抽样比为3∶4∶5，所以应在乙学校抽取120×eq \f(4,3＋4＋5)＝40(份)． 反思感悟　在分层随机抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比． 跟踪训练2　某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体情况，现采用按比例分配分层随机抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为(　　) A．14 B．20 C．21 D．70 答案　A 解析　由题意知，老年职工与中年职工的人数之和为170，又老年职工与中年职工的人数之比为7∶10， 故老年职工人数为170×eq \f(7,7＋10)＝70，中年职工人数为170×eq \f(10,7＋10)＝100，各部分所占比例为eq \f(30,150)＝eq \f(1,5)， 则抽取的老年职工的人数为eq \f(1,5)×70＝14. 三、用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数 问题3　在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体