信息论与编码第六章课后习题答案(曹雪虹).docxVIP

第六章：信道编码(本章复习大纲我重新修改了一下，尤其要关注红色内容) 1、基本概念：差错符号、差错比特；差错图样：随机差错、突发差错；纠错码分类：检错和纠错码、分组码和卷积码、线性码与非线性码、纠随机差错码和纠突发差错码；矢量空间、码空间及其对偶空间； 有扰离散信道的编码定理： P e e- NE ( R ) （掌握信道编码定理的内容及 减小差错概率的方法）；线形分组码的扩展与缩短（ 掌握奇偶校验码及缩短码的校验矩阵、生成矩阵与原线形分组码的关系）。 2、线性分组码(封闭性)：生成矩阵及校验矩阵、系统形式的 G 和 H、伴随式与标准阵列译码表、码距与纠错能力、完备码 (汉明码)、循环码的生成多项式及校验多项式、系统形式的循环码。 作业：6-1、6-3、6-4、6-5 和 6-6 选一、6-7 6-8 和 6-9 选一 6-1 二元域上 4 维 4 重失量空间的元素个数总共有 24=16 个，它们分 别 是 (0,0,0,0),(0,0,0,1) … (1,1,1,1) ， 它 的 一 个 自 然 基 底 是 (0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0)和(1,0,0,0)；其中一个二维子空间含有的元 素个数为 22 个，选取其中一个自然基底为(0,0,0,1)和(0,0,1,0)，则其二维子空间中所包含的全部矢量为 (0,0,0,0,),(0,0,0,1),(0,0,1,0) 和(0,0,1,1)(注选择不唯一)；上述子空间对应的对偶子空间可以有三种不同的选择：(0,0,0,0) ,(0,1,0,0),(1,0,0,0)，(1,1,0,0)或(0,0,0,0) ,(0,1,0,0) 或(0,0,0,0) (1,0,0,0)。(注意本题中所包含的关于矢量空间的一些基本概念) 由题设可以写出该系统(8,4)码的线形方程组如下： ?? v ? u ? v7 3 v ?? u ? 6 2 ?? v ? u ? v?5 1 v ? ? u (注：系统码高四位与信息位保持一致，u 为信息位) ?v ? 4 0 i ?u ? u ? u ? 3 3 2 0 ?v ? u ? u ? u ? 2 3 1 0 ?v ? u ? u ? u ? 1 2 1 0 ?v ? u ? u ? u 0 3 2 1 3 2 1 07 6 5 4 3 2 1 0把上述方程组写成矩阵形式，可以表示为 V=UG，其中 V 为码字构成的矢量，即 V=(v ,v ,v ,v ,v ,v ,v ,v )，U 为信息位构成的矢量，即U=( u ,u ,u ,u 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 ?1 0 0 0 1 1 0 1? ?0 ? 1 0 0 1 0 1 1? ? ?0 0 1 0 0 1 1 1? ?0 0 0 1 1 1 1 0? ? 4 ? | P ? 4*4 由系统生成矩阵和校验矩阵的关系可得： 10110 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 ?1 0? ?H ? ?PT ? 4*4 | I ? ? ? ? ?4 ?0 0? ? 11? ? 1 1 ? ? 由校验矩阵可以看出，矩阵 H 的任意三列都是线性无关的(任意三列之和不为 0)，但存在四列线性相关的情况(如第 1、5、6、8 列， 这四列之和为 0)，即校验矩阵H 中最小的线性相关的列数为 4，从而得该线性分组码的最小码距为 4。(注意：书上定理 6.3 的结论是错误的，正确的结论是线性分组码的最小码距为校验矩阵中最小的线性相关的列数)。 该编码器的硬件逻辑连接图略(用 WORD 画图比较麻烦，希望同学们自己把硬件电路图画一下，主要考查数字电路一些知识点，其他 画硬件逻辑电路图题目也要自己画)。 在例 6-4 中，该(7,4)汉明码对应的校验矩阵为： ?0 0 1 0 1 1 1? ?1 1 1 0 1 0 0? ? ? ? ?H ? ?0 1 0 1 0 1 1? ?转?化?为?系统?形?式(?不?唯一?) ?? ?0 1 1 1 ? ? ? ? ??1 0 0 1 1 0 1?? ??1 1 0 1 0 0 1?? 由(7,4)码进行第一次缩减可得(6,3)码，该(6,3)校验矩阵为(校验矩阵 H 删除第一列)：H1 H 删除第一列)：H 1 ? ?1 1 1 0 1 0? ；对缩减后的(6,3)码再进行一 ? ??1 0 1 0 0 1?? ? 次缩减可得 (5,2) 码， (5,2) 码的校验矩阵 (H1 删除第一列 ) ： ?1 0 1 0 0? ? ?H ? ?1 1 0 1 0? ( 系统形式 ? ? 2 ??0 1 0 0 1?? ? 。?1 0 1 1