复变函数课件.pptxVIP

第一节 复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算三、小结与思考 2一、复数的概念1. 虚数单位:对虚数单位的规定: 3虚数单位的特性:…… 42.复数: 5例1解令 6 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小. 7二、复数的代数运算1. 两复数的和:2. 两复数的积:3. 两复数的商: 84. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例2解 95. 共轭复数的性质:以上各式证明略. 10例3解 11例4解 12例5 解 13例6 解 14例7 证 15例8 解 16 17三、小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点. 18思考题复数为什么不能比较大小？ 19一、复平面1. 复平面的定义 202. 复数的模(或绝对值)显然下列各式成立 213. 复数的辐角说明辐角不确定. 22辐角主值的定义: 234. 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致. 245. 复数和差的模的性质 25利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式欧拉介绍6.复数的三角表示和指数表示 26例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为 27指数表示式为故三角表示式为指数表示式为 28故三角表示式为指数表示式为 29例2解(三角式)(指数式) 30例3解 31例4证 32两边同时开方得 33例5证 34两边平方, 并化简得 下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形. 35例6解所以它的复数形式的参数方程为 36 37例7证 38两边同时平方, 39例8求下列方程所表示的曲线:解 40化简后得 41二、复球面1. 南极、北极的定义 42 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作?. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大?的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.2. 复球面的定义 433. 扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.对于复数?来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. 44 45三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面. 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈． 46思考题是否任意复数都有辐角? 47思考题答案否.它的模为零而辐角不确定.放映结束，按Esc退出. 48一、乘积与商定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.证 49两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.从几何上看, 两复数对应的向量分别为[证毕] 50说明由于辐角的多值性, 两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.例如， 51由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况: 52定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.证按照商的定义, [证毕] 53例1解 54例2解如图所示, 55 56二、幂与根1. n次幂: 57棣莫佛公式棣莫佛介绍推导过程如下:2.棣莫佛公式 58根据棣莫佛公式, 59当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现. 60从几何上看, 61例3解 62 63例4解 64即 65例5解即 66 67例6解故原方程可写成 68故原方程的根为 69例7证利用复数相等可知: 70等式得证. 71三、小结与思考 应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便: 棣莫佛(de Moivre)公式放映结束，按Esc