武汉大学泛函分析考博博士真题16-20.pdfVIP

武汉大学2020年攻读博士学位研究生考试试题 考试科目：泛函分析 考试时间： 月 日 （注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！） ———————————————————————————— 1．在实数轴 上，令d(x,y) |x  y |p ，当 为何值时， 是度量 R p R p R 空间， 为何值时， 是赋范空间。 R x,y,z R 解 ：若 是度 量 空 间 ，所 以 ，必须有 ： d(x,z) d(x,y) d(y,z)成立 即 p p p ，取 ， |x  z | |x  y |  |y  z | x 1,y 0,z 1 有 p p p ，所以， 2  1  1 2 p  1 若 是赋范空间，d(x,0) ||x || |x |p ，所以 ， R x,k R 必须有： 成立，即 p p ， ， ||kx || |k |||x || |kx | |k ||x | p 1 p  1 R p 1 R 当 时，若 是度量空间， 时，若 是赋范空间。 d 2．若 是度量空间，则 ， 也是使 成 (X ,d) d min(d,1) d X 1 2 1 d 为度量空间。 解：由于(X ,d)是度量空间，所以x,y,z X 有： 1）d(x,y) 0，因此d (x,y) min(d(x,y),1) 0 1 d(x,y) 和d (x,y)  0 2 1 d(x,y) 1 且当x y 时d(x,y) 0， d(x,y) 于是d (x,y) min(d(x,y),1) 0和d (x,y) 0 1