初中数学千题解——几何综合100道（含答案解析）.docx

几何综合100题 一、不定项选择 1．如图3.1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D为AB的中点，点E在BC上，CE＝3BE，AE与CD交于点F．下列四个结论中正确的结论序号为__________． 图3.1 （1）∠AFC＝60°; （2）＝; （3）＝; （4）＝． 【答案】解：（1）正确. 作AH⊥BC于点H，过点B作BC的垂线交AE的延长线于点P，如图4.1所示． ∵AB＝AC，AH⊥BC， 图4.1 ∴BH＝BC． ∵EC＝3BE， ∴BE＝BC， ∴BE＝HE． ∵ ∴△BEP≌△HEA（ASA）， ∴BP＝HA，AE＝PE， ∵∠ABC＝30°，AH⊥BC， ∴AB＝2AH， ∵AD＝BD， ∴AD＝AH＝BP． ∵BP⊥BC， ∴∠ABP＝∠ABC＋90°＝120°＝∠CAD． ∵ ∴△ABP≌△CAD，（SAS）如图4.2所示， 图4.2 ∴∠BAP＝∠ACD，AP＝CD， ∵∠BAC＝180°－2∠B＝120°， ∴∠ADC＋∠ACD＝180°－∠BAC＝60°， ∴∠ADF＋∠FAD＝∠AFC＝90°； （2）错误. 如图4.3所示，在△ADF与△CDA中， 图4.3 ∠ADF＝∠CDA，∠DAF＝∠DCA， ∴△ADF∽△CDA， ∴＝＝， 作AQ⊥DC于点Q，如图4.4所示． 图4.4 设DF＝k，则AF＝2 k． ∵∠AFQ＝60°， ∴FQ＝k，AQ＝k． ∴DQ＝2k，AD＝k，AC＝2k， ∴QC＝＝5k， ∴CD＝DQ＋QC＝7k， ∴＝； （3）正确. ∵AP＝CD＝7k，PE＝AE， ∴AE＝3.5k， ∴EF＝AE－AF＝1.5k， ∴＝； （4）正确． ∵DF＝k，CF＝FQ＋CQ＝6k， ∴＝， ∵＝， ∴＝． 设S△ADF＝2a，则S△AFC＝12a，S△FEC＝9a， ∴S△ACD＝14a， ∵AD＝BD， ∴S△BCD＝S△ACD＝14a， ∴SBEFD＝S△BCD－S△FEC＝5a， ∴＝． 2．如图3.2所示，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥AD，BE与CF交 点H，已知∠FEB＝45°，FD＝8，CH＝9．下列四个结论中正确的结论序号为__________． 图3.2 （1）BC＝CE＝CF； （2）AB＝16； （3）tan∠AHF＝； （4）S△BEC＝． 【答案】解： （1）正确． 如图4.5所示,设∠ABE＝∠EBC＝α，则∠1＝90°－∠α． 图4.5 ∴∠2＝180°－45°－（90°－α）＝45°＋α． ∵AB∥CD， ∴∠3＝180°－2α－90°＝90°－2α， ∴∠4＝（90°－α）－（90°－2α）＝α， ∠CEF＝45°＋∠4＝45°＋α＝∠2， ∴BC＝EC＝CF， （2）错误. 作BG⊥FA交FA的延长线于点G，如图4.6所示， 图4.6 ∴四边形BGFC为正方形. 易证Rt△AGB≌Rt△DFC（HL）， ∴∠ABG＝∠3＝90°－2α，AG＝DF． 延长AG至点P，如图4.7所示，使得GP＝CH， 图4.7 易证Rt△PGB≌Rt△HCB（SAS）， ∴∠P＝∠1＝90°－α，∠PBG＝∠HBC＝α， ∴∠PBA＝∠ABG＋∠PBG＝（90°－2α）＋α＝90°－α， ∴∠P＝∠PBA， ∴AB＝AP＝AG＋GP＝DF＋CH， ∴AB＝17． （3）错误. ∵AG＝DF＝8，AB＝17， ∴BG＝BC＝CF＝FG＝15， ∴FH＝6，AF＝7， ∴tan∠AHF＝＝． （4）错误. 作CM⊥BE于点M，如图4.8所示． 图4.8 ∵BC＝CE， ∴BM＝ME， ∴S△BEC＝2 S△BCM＝BM·CM ＝BC·cosα·BC·sin＝BCsinα2α·cosα ∵tanα＝＝＝， ∴sinα＝，cosα＝， ∴S△BEC＝． 3．如图3.3所示，已知点E为正方形ABCD的边CD上一动点（不与点C、D重合），将△BCE沿BE边翻折得到△BFE，连接AF并延长交BE的延长线于点P，连接PD、PC．下列四个结论中正确的结论序号为__________． 图3.3 （1）＝； （2）＝2； （3）＝； （4）若DE＝2CE，AB＝3，则PA＋PB＋PC＋PD＝18＋12． 【答案】解： （1）正确． 作BH⊥AP于点H，如图4.9所示， 图4.9 ∵BC＝BF＝AB， ∴△BAF为等腰三角形， ∴BH平分∠ABF， ∵△BFE与△BCE关于BP轴对称 ∴BP平分∠FBC ∴∠HBP＝（∠ABF＋∠FBC）＝∠ABC＝45°， ∴△BHP为等腰直角三角形， ∴∠APB＝45°， 作AQ⊥AP交PB的延长线于点Q，如图4.10所示， 图4.10 ∴△APQ为等腰直角三角形， ∴AQ＝AP， ∵∠QAB＋