全等三角形的专题.docx

全等三角形问题中常见得辅助线得作法 常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造两条边之间得相等,两个角之 间得相等。 1、添加辅助线得方法与语言表述 ( 1 )作线段:连接……; (2)作平行线:过点……作……∥……; (3)作垂线(作高):过点……作……⊥……,垂足为…… ; (4)作中线:取……中点……,连接…… ; (5)延长并截取线段:延长……使……等于……; (6)截取等长线段:在……上截取……,使……等于…… ; (7)作角平分线:作……平分……;作角……等于已知角……; (8)作一个角等于已知角:作角……等于……、 2、全等三角形中得基本图形得构造与运用 ( 1 )倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换 中得“旋转” 法构造全等三角形。 (2)截长补短法: 若遇到证明线段得与差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形。 ①截长:在较长线段中截取一段等于另两条中得一条,然后证明剩下部分等于另一条 ; ②补短:将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后证明新线段等于较长线段;或延长一 条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分等于另一条较短线段 (3)角平分线:以角平分线为对称轴利用轴对称性“构造全等三角形,利用得思维 模式就是三角形全等变换中得“对折”。 O可以在角平分线上得某一点向角得两边作垂线,利用得思维模式就是三角形全等变换中得“对折”, 所考知识点常常就是角平分线得性质定理或逆定理. 可以在角平分线上得一点作该角平分线得垂线与角得两边相交,形成一对全等三角形。 可以在该角得两边上,距离角得顶点相等长度得位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上得某 点作边线,构造一对全等三角形。 (4)一线三等角问题(“ K”字图、 弦图、三垂图):两个全等得直角三角形得斜边恰好就是一个等腰直 角三角形得直角边。 (5)角含半角、等腰三角形得(绕顶点)旋转重合法:)图形补全:有一个角为 6 0°或 120°得,把该角添线 后构成等边三角形、 一、倍长中线 1、已知,如图△ABC中,AB =5,AC=3 ,则中线 AD 得取值范围就是_________. 分2、如图,△ 分 2、如图,△ABC中,E、F ⊥DF,D 就是中点,比较 B 别在 AB、 AC 上,DE ＋CF 与EF 得大小。 E 二、截长补短 3、如图,AD∥BC,EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA,CD 过点 E,求证 ;AB＝AD＋BC。 4: 如图, △ABC 中, ∠C＝2∠B, ∠1=∠2。求证:AB＝AC＋CD . 5、如图,在四边形 ABCD中,BC〉BA,AD＝CD,BD 平分,求证: 三、角平分线造全等 6、如图,在四边形 ABCD 中,BCBA,AD=CD,BD平分,求证: :五、旋转 : 五、旋转 (一)、含半角绕顶点旋转 如图,四边形ABCD 就是正方形, O方法:延长其中一个补角得线段(延长CD 到 E,使ED＝BM ,连 AE 或 延长CB 到 F,使 FB＝DN ,连 AF ) 结论:①MN=BM＋DN ② AM、AN 分别平分∠BMN与∠DNM ②翻折 四、“K”字图、弦图、三垂图 由△ABE≌△BCD导出 BC=BE＋ED=AB+CD ED=AE—CD EC=AB— CD 思路:分别将△ABM 与△ADN以AM 与 AN 为对称轴翻折,但一定要证明 M、P、N 三点共线。 (∠B+ ∠D=180°且 AB=AD) (二)、等腰三角形绕顶点旋转 ①△ABE与△ACF 均为等边三角形 结论:(1)△ABF≌△AEC; (2) ∠B0E=∠BAE = 6 0°( “八字型”模型证明); (3)OA 平分∠EOF 拓展: 条件:△ABC 与△CDE均为等边三角形 结论:(1)、AD=BE (2)、∠ACB＝∠AOB (3)、△PCQ 为等边三角形 (4)、PQ∥AE (5)、AP=BQ (6)、 CO 平分∠AOE (7)、OA=OB+OC (8)、OE＝OC+OD ((7),(8)需构造等边三角形证明) ②条件:△ABD 与△ACE 均为等腰直角三角形 结论:(1)、 BE=CD ( 2 )BE ⊥CD ③条件:ABEF与 ACHD均为正方形 结论:(1)、BD⊥CF (2)、BD=CF 变形一:ABEF 与ACHD 均为正方形,AS⊥BC 交 FD于 T, 求证:①T 为 FD 得中点. ② 方法一: 方法二: