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李雅普诺夫稳定性特征根分布 李雅普诺夫稳定性的准则（Lyapunov stability criterion ）是一种从系统的动力学模型出发来判断系统轨迹稳定性的重要工具。它实际上是一种利用能量函数考虑系统的稳定性的方法，由于与前面研究的基本思想完全一致，故用Lyapunov 定理命名。 Lyapunov 方程定义为： $$V(x)=x^TPx+2x^TQx$$ 其中$x\in R^n$是分量向量，$P,Q$分别是半正定系数阵。 为了证明系统的稳定性，我们需要证明Lyapunov 方程的特征值全是正的。这可以从特征方程 $$\det(Px^2+2Qx+\lambda I)=0 \tag{1}$$ 出发，其中特征值$\lambda$是系统特征方程定义的根。根据Lyapunov 定理，只有当$Px^2+2Qx+\lambda I\ge 0$且特征值全为正，Lyapunov 方程才能满足稳定性条件。由此可见，实际上证明系统稳定性，就是要证明它的特征值全为正。 实际应用中，会存在$P,Q$矩阵未知而且特征值不是线性分布的情况，此时不容易证明特征值正性，也无法进行解离散处理。考虑到这种情况，李雅普诺夫准则引入了特征根分布的概念，它的主要思想是在未知的阵列上可以研究特征根分布规律。 假设$P,Q$是未知阵列，向量$x$是一维实矢，特征值$\lambda$的具体分布是由特征方程(1)给出的。若将(1)编写成下面的多项式方程： 则把$\lambda$看成一个未知变量即可研究它在不同给定$P,Q$下的具体位置分布。 将特征方程(2)向上抬升，可以得到一个整数阶多项式方程，即： 那么该多项式方程解的无穷多个解就称为Lyapunov方程的特征根分布，它反映特征值的位置分布和其性质及特性。 在确定的$P,Q$的条件下，Lyapunov 特征根分布的性质仅取决于特征方程的阶数，也就是说，所有给定$P,Q$的特征根分布都具有相同的性质。在多项式方程(3)中，$P,Q$可以确定各自的系数，可以研究多项式方程(3)中各特征根的位置和数量分布情况，以及其他性质。 因此，Lyapunov 特征根的分布可以反映Lyapunov 系统的稳定性。证明Lyapunov 方程的稳定性，只要证明特征根分布中所有根都是正的，就可以满足准则的要求，从而得到稳定的结论。