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1 古希腊数学的发展： 泰勒斯和毕达哥拉斯： 在古希腊论证数学发展史上，泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前624～前547年） 被称为第一个几何学家，他确立和证实了为人们公认的第一批几何定理： 1、圆为它的任一直径所平分； 2、半圆的圆周角是直角； 3、等腰三角形两底角相等； 4、相似三角形的各对应边成比例； 5、若两三角形两角和一边对应相等则三角形全等。 古希腊论证数学的另一位先驱是毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前 584～ 前 497 年）及其学派。在毕达哥拉斯之前，人们并没有清楚认识到几何的证明是要有假设的， 几何学所取得的一些结构，大都靠经验得出。至于它们之间的关系，包括相互之间、规律与 规律的交互作用等，都未有过说明。是毕达哥拉斯在发展几何的过程中率先制定“公设”或“公 理”，然后再经过严格的推导、演绎来进行。把证明引入数学是毕达哥拉斯伟大功绩之一。 毕达哥拉斯的第二个贡献是提出抽象。他把抽象运用到数学上，认为数学上的数、 图形都是思维的抽象，已不是实际生活中的数与形。如几何物体，正是舍弃了诸如密度、颜 色、重量，唯一所考虑的只是它的空间分布形式。抽象引发了几何的思辨，从实物的数与形， 抽象到数学上的数与形，成为早期的几何思想的先驱。 后来，由勾股定理（西方成为毕达哥拉斯定理或百牛定理）引发的有关无理数的第一次数学危机推动了数学上的思想解放。为此作出努力的是柏拉图的学生天文学家欧多克索斯（Eudoxus,约公元前 400 年～前 347 年）。他为解释无理数的问题，采用了“比例理论”， 这其中就隐含了极限的思想，对后来的欧几里得几何学的产生起到了积极作用。 智者（Sophist）学派与古希腊三大难题: 在数学上，智人学派曾提出 “三大问题 ”： 三等分任意角； 倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍； 化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。 这些问题的难处，是作图只许用直尺 (没有刻度的尺 )和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学 从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。对这三大难题的研究虽然都得不到实际结果，但对当时数学理论的发展起到很大的推动作用。 这个学派的安提丰提出用 “穷竭法 ”去解决化圆为方问题——先作圆内接正方 形，以后每次边数加倍，得 8、16、32、…边形， “最后”的多边形与圆的 “差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合，成为近 代极限理论的雏形。 柏拉图学派与演绎证明： 柏拉图（Plato，约公元前 427～前 347 年）学派认为数学是认识“理念世界”的工具， 因此他们特别重视数学的证明方法，竭力主张学习和研究数学。 柏拉图在毕达哥拉斯学派提出的数学概念抽象化的观点基础上，从哲学的角度去探讨数学概念的涵义，为发挥数学抽象思维的能动作用创造了条件，推动了数学的科学化。 另外，柏拉图强调数学研究的演绎证明。归纳以及根据经验作出的一般结论只能给出可能正确的知识，演绎法在前提正确的条件下则能得到绝对正确的结果。柏拉图的这一思想，成为后来公理化方法的发端，对欧几里得几何的公理化演绎体系和推进古希腊数学的发 展具有重要意义，对数学演绎方法的建立和完善作出了重要贡献。 欧几里得与几何学： 在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然黔这些知识当中，存 在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公 理之问、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格 的逻辑论证和说明。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而 周详的研究， 已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他在古代丰富的数学知识和数 学思想方法的基础上，对客观世界的空间关系进行了高度的抽象而最终完成一部传世之作 ——《几何原本》，它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里得 开创性的系统整理和完整阐述， 使这些远古的数学思想发扬光大。 几何学正是有了它， 不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域 ——欧几里得几何学，简称 “欧氏几何学 ”。 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线理论： 阿波罗尼奥斯跟随欧几里得的后继者学习，在前人的基础上做了大量去粗取精， 批判继承的工作，同时又提出许多创新的独到见解，从框架结构、内容上以焕然一新的角度写成一部集大成的书——《圆锥曲线论》。该书将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人 没有插足的余地。《圆锥曲线论》是一部经典巨著，它可以说是代表了希腊几何的最 高水平。在书中，阿波罗尼奥斯创造性地以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂点作为纵标，