研究生入学考试定积分计算方法.pptx

课前练习第1页/共44页第一页，共45页。 课前练习解：第2页/共44页第二页，共45页。 课前练习解：第3页/共44页第三页，共45页。 课前练习解：第4页/共44页第四页，共45页。 课前练习第5页/共44页第五页，共45页。 我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法和分部积分法，那么定积分是否也有换元法和分部积分法呢？那么定积分中和不定积分中的换元法和分部积分法有哪些不同呢？ 第一个问题的回答是肯定的，在一定条件下，结合牛顿—莱布尼茨公式可以用换元积分法与分部积分法来计算定积分。一、问题的提出第二个问题我们会在上课的过程中予以回答。第6页/共44页第六页，共45页。 一、问题的提出引例：解：第7页/共44页第七页，共45页。 一、问题的提出引例第8页/共44页第八页，共45页。 2.1、第一换元法——凑微分法定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续, 则注: 这里由于设有把变换式u=j(x)明显写出来, 积分变量仍然是x, 所以不必改变上下限.例1 计算解二、定积分的换元法第9页/共44页第九页，共45页。 例2 计算解原式二、定积分的换元法第10页/共44页第十页，共45页。 例3 计算解二、定积分的换元法第11页/共44页第十一页，共45页。 2.2、第二换元法——变量代换法定理2 设f(x)在[a,b]上连续, x=j(t)满足条件:⑴j(a)=a, j(b)=b;⑵j(t)在[a,b]上具有连续导数且值域Rj=[a,b],则有证设F(x)是f(x)的一原函数，另一方面, 在[a,b]上, 把t的复合函数F[j(t)]对t求导得二、定积分的换元法第12页/共44页第十二页，共45页。 ⑴换元必须换限2.3、第二换元法两个要点用x=j(t)把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.⑵换元无需还原求出设f[j(t)]j‘(t)的一原函数F[j(t)]后, 不必象计算不定积分那样再要把F[j(t)]变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入F[j(t)]然后相减就行了。这也是比不定积分相对较优的一个特点（优点）。二、定积分的换元法第13页/共44页第十三页，共45页。 二、定积分的换元法例4 计算解：第14页/共44页第十四页，共45页。 例5 计算解：二、定积分的换元法第15页/共44页第十五页，共45页。 二、定积分的换元法例6 计算解：第16页/共44页第十六页，共45页。 证二、定积分的换元法第17页/共44页第十七页，共45页。 上述结论的几何解释：yxa–a0y=f(x)+–偶函数图形关于y轴对称,在[–a,a]上关于y轴左右两边的图形面积相等.奇函数图形关于原点对称,在[–a,a]上关于x轴上下两边的图形面积相等.yxa–a0y=f(x)二、定积分的换元法第18页/共44页第十八页，共45页。 奇函数例8 计算解原式偶函数单位圆的面积二、定积分的换元法第19页/共44页第十九页，共45页。 二、定积分的换元法例9 ⑴ 解：⑵解：原积分=第20页/共44页第二十页，共45页。 二、定积分的换元法2.4、用换元法证明定积分的恒等式步骤：⑴改写等式右端的积分变量为t；⑵作变量替换：①若被积函数左为f(x)右为f[j(t)],则令x=j(t);②若被积函数左为f(x)右为f(t),则令x=-t,1/t或A±t;③若被积函数含三角函数,则令x=p±t 或p/2±t;例10 设f 连续,证明证：第21页/共44页第二十一页，共45页。 证⑴令二、定积分的换元法第22页/共44页第二十二页，共45页。 ⑵令二、定积分的换元法第23页/共44页第二十三页，共45页。 二、定积分的换元法例12解求导第24页/共44页第二十四页，共45页。 二、定积分的换元法第25页/共44页第二十五页，共45页。 解例13计算二、定积分的换元法第26页/共44页第二十六页，共45页。 课前练习第27页/共44页第二十七页，共45页。 课前练习解：第28页/共44页第二十八页，共45页。 课前练习解：第29页/共44页第二十九页，共45页。 (Formula for Integration by Parts)3.1、分部积分公式定积分的分部积分公式设函数u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数，则有三、定积分的分部积分法第30页/共44页第三十页，共45页。 2.2、分部积分法两个要点⑴主要解决两类积分:①直接用于被积函数为对数函数、反三角函数 及变上限函数;三、定积分的分部积分法②用于两种不同类型函数乘积的积分 (按“反对幂指三”定u、v；⑵与不定积分仅差上下限，分部同时计算积分。对于定积分的分部积分法，在分部积