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第二节 三重积 分 一、三重积分的概念和性质 二、在直角坐标系下计算三重积分 三、在柱面坐标系和球面坐标系下 计算三重积分 四、小结 思考题 一、三重积分的概念和性质 引例 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均 匀的 物质 , 密度函数为m (x , y ,z ) ￎ C ,求分布在  内的物质的 质量 M . 解决方法 类似二重积分解决问题的思想 , 采用 “大化小 , 常代变 , 近似和 , 求 极限” 可得 Dv n k M = lim ￎ m (xk ,hk ,z k )Dvk l ￎ 0 k = 1 (x k ,h k ,z k ) f (x ,y ,z ) 定义 1 设 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函 数 . 将 Ω 任意分成 n 个小闭区域 D V ,D V , L,D V , 1 2 n 其中△ Vk 也表示第 k 个小闭区域的体积 . 在每个△ Vk 上任取一点 (ξk, ηk, ζk), 若和式的极 n 记作 lim ￎ f (x k ,hk ,z k )DV k f (x ,y ,z )dV l ￎ 0 ��� k = 1 Ω f (x ,y ,z ) 存在 ,则称此极限为函数 在 上的三重积 分 . dV称为体积元素 , dx dy dz . 在直角坐标系下常写作 性质 三重积分的性质与二重积分相 例如 似 . 设 f (x ,y ,z ) 中值定理 在有界闭域  上连续 , V 为 的体积 , (x ,h ,z ) ￎ Ω , 使得 则存在 f (x ,y ,z )dV = f (x ,h ,z )V . ��� Ω 特别地 当 f (x, y , z) ≡ 1 时 , 有 d V = V. ��� Ω 二、在直角坐标系下计算三重积 分 f (x ,y ,z ) ￎ 0, 并将它看作某物体 先假设连续函数 的密度函数 通过计算该物体的质量引出下列各计算方,