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会计学1高等代数矩阵的有理标准形 上页下页返回 定义8 对数域P上的一个多项式 d(λ)=λn+a1λn-1+…+an称矩阵(1)为多项式d(λ)的伴侣阵. 容易证明，A的不变因子(即λE-A的不变因子)是(见习题3)第1页/共11页 上页下页返回 定义9 下列准对角矩阵(2)其中Ai分别是数域P上某些多项式 di(λ) (i=1,2, …,s)的伴侣阵，且满足d1(λ)| d2(λ)|…|ds(λ) ， A就称为P上的一个有理标准形矩阵.第2页/共11页 上页下页返回 引理 (2)中矩阵的不变因子为 1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) ，其中 1 的个数等于 d1(λ), d2(λ), …, ds(λ) 的次数之和n减去s. 证明 因为第3页/共11页 上页下页返回进而用初等变换将λE-A变成由于每个λEi-Ai的不变因子为1,1, …,1, di(λ) ，故可用初等变换把它变成第4页/共11页 上页下页返回(3)第5页/共11页 上页下页返回在λ－矩阵(3)上再进行一些行或列互换，则可变成由于 d1(λ) | d2(λ) |… |ds(λ) ，故它是λE-A的标准形，而1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)是它的不变因子.第6页/共11页 上页下页返回 定理14 数域P上n×n方阵A在P上相似于唯一的一个有理标准形矩阵，称为A的有理标准形. 证明 设A的(λE-A的)不变因子为 1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) ，其中d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) 的次数≥1，且1的个数＝d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)的次数之和减去s，设di(λ)的伴侣阵是Bi ，则作第7页/共11页 上页下页返回如引理所述，B的不变因子与A的不变因子完全相同，故B相似于A ，即B是A的有理标准形矩阵. 又B是由A的不变因子唯一决定，故B由A唯一决定. 证毕.第8页/共11页 上页下页返回 定理15 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为线性变换A的有理标准形. 把定理14的结论变成线性变换形式的结论就成为第9页/共11页 上页下页返回例 设3×3矩阵A的初等因子为(λ-1)2, (λ-1) ，则它的不变因子是1, (λ-1), (λ-1)2 ，它的有理标准形为A1A2第10页/共11页
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