高等代数欧几里得空间.pptxVIP

会计学;具体的例子:;并且内积;一. 欧几里得空间的定义;当且仅当 时;(1)V为实数域 R上的线性空间;;例1 设A是一个n阶正定矩阵，在线性空间;注1 同一线性空间V 上可以定义多个内积.;例2 为闭区间 上所有实连续函数所构;线性性 ;推广: ;欧氏空间V中,;为单位向量.;例3 在欧氏空间;3. 柯西－布涅柯夫斯基不等式;当 时,;若 线性相关,不妨设 ;例4 写出下列欧氏空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式.;3. 三角不等式;设V为欧氏空间, 为V中任意两非零向量,;注;设;例3 已知 ;对V中任意两个向量;定义 矩阵 ;所以度量矩阵A是实对称矩阵.; ;于是 ;练习1 在;设Ｖ为欧氏空间，非零向量;证明 设非零向量　　 　 两两正交.; 注2 n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数;n维欧氏空间中，由n 个向量构成的;(2) n 维欧氏空间V中的一组基 　 为标准正交基;(i)　设;定理1 n维欧氏空间中任一个正交向量组都能;要使;注 定理的证明实际给出一个具体求标准正交基的方法.;都可找到一组标准正交基 　　　　　 使;Schmidt正交化过程:;此时;例1 求与 ;再单位化;求 　　的一组标准正交基．;;再单位化;于是得　 的标准正交基;设 与　　　 是 维欧氏空间V中的;同理度量矩阵;则称A为正交矩阵. ;(4) 　　 为正交矩阵;(6)若 　　 为正交矩阵，则;§3 欧氏空间的同构;1、若　是欧氏空间V到V的同构映射，;建立映射;传递性： ;即;从而;若 是V的标准正交基,则;为正交变换.;都是V的标准正交基,;(2)正交变换的逆变换是正交变换； ;(4)设n维欧氏空间V中的线性变换A在标准正交基;1.定义;　则称向量　与子空间 　正交，记作;证明 设子空间 　　　两两正交，;1.定义;将其可扩充成V的一组正交基;再证唯一性.;子空间W的正交补记为　　满足 ;则;称　 为　在子空间W上的内射影.;2. 内射影的求法;设矩阵 　 ;二. 实对称矩阵的一些性质;2. 实对称矩阵A 所对应的线性变换-----对称变换;引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间　 上;注1 此性质把实对称矩阵的特性反映到线性变换上.;引理3 设A是对称变换，W是A的不变子空间，;引???4 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交.;1.定理7 对 　　　　　　　 总存在正交矩阵T，使;当n=1时，结论是显然的．;且对　　　　　　　有;2. 具体步骤;(iii) 因为 互不相同，;例1 设 ;当 时，求解方程组;再单位化，得;当　　　 时，解方程组;为正交矩阵， ;注;取正交矩阵;(3)因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可;例1 若 A 是正定矩阵，则;例3 设 A 是n阶实对称矩阵，证明当实数t充分大之后，tE+A是正定矩阵，其中E是n阶单位矩阵.;四.正交变换法化实二次型为标准形;例4 已知实二次型 ;当 时,求解方程组;再单位化，得;当　　　 时，解方程组;为正交矩阵，使得;在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是 ;对（2）中的　 　　　　　有正交矩阵C（且 　 　 ）;其中 ;曲面方程（1）可以化为 ;长度 称为向量 和 的距离，;二.向量和子空间的距离;证明;三. 最小二乘法;解 先画图;即;即令误差平方和 ;2. 定义;3. 最小二乘问题的矩阵表示;最小二乘法就是找　 ;设;最小二乘解 a,b 所满足的方程就是