(8.5.1)--7.5矩阵的相似对角化和二次型的标准形.pdf

第7章 MATLAB在线性代数中的应用 V 矩阵的相似对角化和二次型的标准形 本节要求 1. 矩阵的特征值和特征向量的求法； 2. 矩阵的相似对角化和实对称矩阵的正交相似对角化； 3. 利用正交变换将二次型化为标准形； 4. 矩阵的正定性和二次型的正定性判定。 1. 方阵的特征值与矩阵的相似对角化 MATLAB中，使用命令d=eig(A) ，可求得矩阵A的所有特征值， 这些特征值放在数组d中； 使用命令[Q,D]=eig(A) ，可求得矩阵A的所有特征值和特征向 量，特征值位于对角矩阵D的主对角线上，特征向量位于矩阵 Q的每一列上。 若A为实对称矩阵，则矩阵Q为正交矩阵。 例1. 求矩阵的特征值和特征向量 1 2 2   A  2 1 2   2 2 1   程序代码如下： clear A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1]; disp(A的全部特征值为) d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量 disp(A的全部特征值和特征向量为) [Q,D]=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵 D 1=inv(Q)*A*Q %验证A的相似对角化 D2=Q*A*Q %验证A的正交相似对角化 运行结果为 A的全部特征值为 d = -1 -1 5 A的全部特征值和特征向量为 Q = 2131/3543 709/ 1284 780/ 1351 408/2299 -369/463 780/ 1351 -747/959 294/ 1201 780/ 1351 D = -1 0 0 0 -1 0 0 0 5 D 1 = -1 * * * -1 * * * 5 D2 = -1 * * * -1 * * * 5 2. 实对称矩阵的正交相似对角化和二次型的标准形 f   x x  x