高一难点：复合函数的零点问题的求解.pdfVIP

难点：复合函数的零点问题的求解 【例题分析】（2019 人教版必修第一册第 155 页第8 题）已知函数f (x ) x 2 3x 2 ， 2 g (x ) 2[f (x )] . （1）求函数y g (x ) 的解析式； （2）利用信息技术，画出函数y g (x ) 的图象； （3）求函数y g (x ) 的零点 （精确到0.1）. 解析：（1）g (x ) x 4 6x 3 13x 2 12x 2； （2）如右图，为函数y g (x ) 的图象： （3）利用二分法可求得函数 有两个零点，分别为 和 . y g (x ) x 2.8 x 0.2 【以下为该题零点求解方法】 令t f (x ) ，则函数g (x ) 2[f (x )]2 可看成内层t f (x )与外层y 2t2 的复合函数. 第一步：由外层函数y 2t2 对应方程2t2 0得 ， t  2 t 2 . 1 2 第二步：分别求内层函数f (x ) t1和f (x ) t2 对应方程的解. 2 3 14 2 f (x ) t1  x 3x 2  2 ，得x ，即方程有两个不相等实数根. 2 f (x ) t2  x 2 3x 2 2 ，此时方程无实数根 （Δ 0）. 3 14 2 3 14 2 综上，函数y g (x )有两个零点x 和x . 2 2 【题型说明】由于在考试题中的方程往往不易求解，复合函数有关零点问题一般不需要求出 具体的零点，所以复合函数有关零点问题一般包括两类题型：①判断零点个数；②由零点个 数求出参数的取值或取值范围. 【方法总结】对于形如y F [f (x )]的复合函数零点的处理 （本质求F [f (x )] 0 的根）： 令t f (x ) ，函数y F [f (x )]可看成内层t f (x )和外层y F (t) 的复合函数. 第一步：求外层 对应方程 的 的值或范围； y F (t) F (t) 0 t 第二步：求内层f (x ) t 对应方程的解或对应图象的交点个数. 从而得到y F [f (x )]的零点情况. 【例题改编】 【变式1】已知函数 2 ，求函数 2 的零点个数. f (x ) x 3x 2 F (x ) 12[f (x )] -8f (x )1 【变式2 】已知函数 2 ，求函数 2 的零点个数. f (x ) |x 3x 2| F (x ) 12[f (x )] -8f (x )1 【变式3 】已知函数 2 ，若函数 2 有2 个