欧拉（Euler）法（电子信息）.pptxVIP

; 欧拉（Euler）法 1.1 Euler公式 欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题 的解y=y(x)代表通过点 的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点 的切线的斜率 等于函数 在这点的值。 ;;;当 时,得 ; 从图形上看,就获得了一条近似于曲线y=y(x) 的折线 。;通常取 (常数),则Euler法的计算格式 ;;例7.1 用欧拉法解初值问题 ;1.2 梯形公式 为了提高精度,对方程 的两端在区间上 积分得， 改用梯形方法计算其积分项，即 ;;1.3 两步欧拉公式 对方程 的两端在区间上 积分得 ; 前面介绍过的数值方法,无论是欧拉方法,还是梯形方法，它们都是单步法,其特点是在计算yi+1时只用到前一步的信息yi;可是公式(7.7)中除了yi外,还用到更前一步的信息yi-1,即调用了前两步的信息,故称其为两步欧拉公式 ;1.4． 欧拉法的局部截断误差 衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度, 因此引入局部截断误差和阶数的概念。 定义7.1 在yi准确的前提下, 即 时, 用数值方法计算yi+1的误差 , 称为该数值方法计算时yi+1的局部截断误差。 对于欧拉公式，假定 ，则有 ;定义7.2 数值方法的局部截断误差为 ,则称这种数值方法的阶数是P。步长(h1) 越小,P越高, 则局部截断误差越小,计算精度越高。欧拉公式的局部截断误差为 , 欧拉方法仅为一阶方法。 两步欧拉公式比欧拉公式精度也是高一个数值方法,设 , 前两步准确,则两步欧拉公式 ;;1.5 改进的欧拉公式 显式欧拉公式计算工作量小,但精度低。梯形公式虽提高了精度,但为隐式公式,需用迭代法求解,计算工作量大。综合欧拉公式和梯形公式便可得到改进的欧拉公式。 先用欧拉公式(7.2)求出一个初步的近似值 ,称为预测值, 它的精度不高, 再用梯形公式(7.5)对它校正一次,即迭代一次,求得yi+1,称为校正值, 这种预测-校正方法称为改进的欧拉公式：; 可以证明,公式(7.10)的精度为二阶。这是一种 一步显式格式,它可以表示为嵌套形式。 ;1.6 改进欧拉法算法实现 （1）计算??骤 ① 输入 , h , N ② 使用以下改进欧拉法公式进行计算 ③ 输出 ，并使 转到 ② 直至n N 结束。 ;（2）改进欧拉法的流程图 ;(3) 程序实现(见附录A A-15 改进欧拉法计算常微 分方程初值问题 ) ;例7.3 对初值问题 ;由于 ，有 ;