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2020 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三） （科目代码：303） （考试时间：上午 8:30-11:30） 考生注意事项 1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 2020年全国硕士研究生入学统一考试 数学(三)试题 一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的． （1）设 ，则 （A） （B） （C） （D） （2）函数，则第二类间断点个数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （3）设奇函数在上有连续导数，则( ) （A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）是奇函数 （D）是偶函数 （4）已知幂级数的收敛区间为，则的收敛区间为（ ） （A）(-2,6) （B）(-3,1) （C）(-5,3) （D）(-17,15) （5）设4阶矩阵不可逆，的代数余子式，为矩阵的列向量组，为的伴随矩阵，则的通解为（ ） （A） ，其中为任意常数 （B），其中为任意常数 （C） ，其中为任意常数 （D），其中为任意常数 （6）设为3阶矩阵，为的特征值对应的两个线性无关的特征向量，为的属于特征值的特征向量. 若存在可逆矩阵，使得，则可为（ ） （A） （B） （C） （D） （7）设A,B,C为三个随机事件， ，则恰好发生一个的概率为（ ） （A） （B） （C） （D） （8）若二维随机变量服从，则下列随机变量中服从标准正态分布且与独立的是（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分． （9）设函数,则 . （10）曲线在点处的切线方程为 . （11）设某家产品的产量为，成本函数, 设产品的单价为, 需求量关于价格的函数为,则该厂家获得最大利润时的产量为 . （12）设平面区域,绕轴旋转所得旋转体的体积为 . （13）行列式_______ （14）随机变量的分布律为为被3除的余数，则_______ 三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本题满分10分）设为常数，且当时，与为等价无穷小，求的值. （16）（本题满分10分） 求函数的极值. （17）（本题满分10分） 设函数满足，且有. （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）设，求. （18）（本题满分10分）设区域，连续函数满足，求. （本题满分10分）设函数在上具有连续导数. ,. 证明：（I）存在 使得 （II）若对任意,,则. （20）（本题满分11分）二次型经正交变换化为二次型，.求： （I）的值； （II）正交矩阵. （21）（本题满分11分） 设为2阶矩阵，，其中是非零向量且不是的特征向量. （I）证明矩阵可逆； （II）若，求并判断是否相似于对角矩阵. （22）（本题满分11分） 二维随机变量在区域上服从均匀分布，且 （I）求二维随机变量的概率分布；（II）求得相关系数. （23）（本题满分11分） 设某种元件的使用寿命的分布函数为 ， 其中 为参数且大于零. （I）求概率与，其中； （II）任取个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为，若已知，求的最大似然估计值.