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2021年考研数学（三）试题答案速查 (1)C (2)D (3)A (4)C (5)B (6)D (7)C (8)D (9)B (10)A (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18)极小值, (19) (20)(1);(2) (21)时,;时, (22)(1)(2)(3) 2021年全国硕士研究生入学统一考试 数学(三)参考答案 一、选择题 （1）是的 （A）低阶无穷小 （B）等价阶无穷小 （C）高阶无穷小 （D）同阶但非等价无穷小 答案:C 分析: 本题考查无穷小阶的判定，考生需要熟练掌握常见的等价无穷小公式；并且掌握变限积分求导. 【解析】作商并取极限： , 故分子是分母的高阶无穷小.选C。 （2）在处 （A）连续且取得极大值 （B）连续且取得极小值 （C）可导且导数为零 （D）可导且导数不为零 答案:D 分析: 本题考查连续、可导的判定，考生需熟练掌握连续、可导的定义式，以及极值存在的充分条件. 【解析】;可导自然连续;选D. （3）函数有个零点，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 答案:A 分析: 本题考查函数零点的个数，需结合函数的单调性以及极值. 【解析】设，得驻点。 又只需，即，所以，故. （4）设函数可微且，，则 （A） （B） （C） （D） 答案:C 分析: 本题考查多元函数求偏导，并且是复合函数中的抽象函数求偏导，考生需熟练掌握利用链式法求复合函数的偏导数. 【解析】由可知; 因此, . （5）二次型的正惯性指数和负惯性指数分别为 （A） 2，0 （B）1，1 （C）2，1 （D）1，2 答案:B 分析: 本题考查二次型的正负惯性指数，考生需熟练掌握如何判定可逆的线性变换，并求二次型的标准形. 【解析】二次型,从而二次型矩阵,求其特征值,特征值分别为,故正负惯性指数分别为. （6）设为阶正交矩阵,若矩阵表示任意常数,则线性方程组的通解为 （A） （B） （C） （D） 答案:D 分析:考查正交矩阵的性质,另外需要掌握方程的解的结构. 解法:易知 且线性无关.因此，从而的基础解系只有一个向量。 , 即是对应齐次方程的解; , 即是非齐次方程的一个特解. （7）已知矩阵，若三角可逆矩阵和上三角可逆矩阵，使得为对角矩阵，则、分别取 （A） （B） （C） （D） 答案:C 分析: 此题涉及矩阵的标准形,考纲并不涉及这个知识点,因此可采取特值法. 【解析】此题涉及矩阵的标准形,考纲并不涉及这个知识点,因此可采取特值法.将选项代入,C选项成立: 。 （8）设为随机事件,且,下列命题中为假命题的是 （A）若,则. （B）若,则 （C）若,则 （D）若,则 答案:D 分析: 本题考察条件概率的基本公式，需要考生具有一定的化简能力。 【解析】对于（D）选项,已知,根据条件概率公式,有 ; 从而;又 , 从条件能得到,但是得不到，所以（D）选项是假命题. （9）设为来自总体的简单随机样本,令,则 （A） （B） （C） （D） 答案:B 【解析】； ; 选（B）. （10）总体的概率分布为,利用来自总体的样本观察值可得的最大似然估计值为 （A） （B） （C） （D） 答案:A 分析:考查似然估计,属于常规考题. 解法:似然函数，则取对数得： , 求驻点： ， 解得. 二、填空题 （11）若____________. 答案: 分析:本题主要考查复合函数的导数,多次复合即可. 解法: . （12） 答案: 分析:本题首要解决的问题是去掉绝对值,因此需要将区间分开,然后掌握第一换元法即可. 解法:. （13）设D由与x轴围成，则D绕轴旋转所得旋转体的体积为 答案: 分析:旋转体的体积,属于常规题,计算不出错即可. 解法: 。 （14）差分方程的通解为_____________. 答案: 分析:常规知识点的考查,差分方程属于数三的专属内容.虽然考频不高,但一定要复习到. 解法:对应齐次方程的特征根,因此齐次方程的通解为; 设非齐次方程的特解为,则有,解得 ; 因此原方程的通解为. （15）多项式的项的系数为 ． 答案: 分析:本题考查的是行列式的定义,涉及到逆序数,属于容易忽略的考点,提醒考生掌握基础知识. 【解析】，生成； ，生成； 最终项的系数为。 （16）甲乙中各装2红2白球，从甲盆中任取一球，观察颜色放入乙盆，再从乙盆中任取一球，令X，Y分别从甲乙两盆中