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第三章 第三节泰勒公式 理论分析目的－用多项式近似表示函数.应用近似计算一、泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用第一页，共三十一页。一、泰勒公式的建立在微分应用中已知近似公式 :x 的一次多项式特点:以直代曲如何提高精度 ?需要解决的问题如何估计误差 ?第二页，共三十一页。1. 求 n 次近似多项式要求:令则故第三页，共三十一页。2. 余项估计(称为余项) ,则有令第四页，共三十一页。第五页，共三十一页。公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .泰勒(Taylor)中值定理 :阶的导数 ,则当时, 有①其中②公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .泰勒第六页，共三十一页。注意到③在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为④公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .* 可以证明: ④ 式成立第七页，共三十一页。特例:给出拉格朗日中值定理(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为可见误差第八页，共三十一页。在泰勒公式中若取则有称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .由此得近似公式则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林 第九页，共三十一页。二、几个初等函数的麦克劳林公式其中麦克劳林公式 第十页，共三十一页。其中麦克劳林公式 第十一页，共三十一页。类似可得其中麦克劳林公式 第十二页，共三十一页。其中麦克劳林公式 第十三页，共三十一页。已知因此可得其中麦克劳林公式 第十四页，共三十一页。三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用 误差M 为在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.第十五页，共三十一页。例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过解: 已知的麦克劳林公式为令 x = 1 , 得由于欲使因此由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,第十六页，共三十一页。说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过总误差限为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .第十七页，共三十一页。计算 cos x 的近似值,例2. 用近似公式使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解: 近似公式的误差令解得即当时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .第十八页，共三十一页。用泰勒公式将分子展到项,2. 利用泰勒公式求极限用洛必达法则不方便 !例3. 求由于解:第十九页，共三十一页。+3. 利用泰勒公式证明不等式例4. 证明证:第二十页，共三十一页。内容小结1. 泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式 .第二十一页，共三十一页。2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 ~ P144 )3. 泰勒公式的应用(1) 近似计算(2) 利用多项式逼近函数 求极限 , 证明不等式 等.(3) 其他应用例如第二十二页，共三十一页。PPT内容概述二、几个初等函数的麦克劳林公式。1. 求 n 次近似多项式。公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .。公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .。在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为。(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为。称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .。在包含 0 , x 的某区间上的上界.。1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n。2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差。3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.。例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过。令 x = 1 , 得。由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,。若每项四舍五入到小数点后 6 位,则。计算 cos x 的近似值,。使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.。时, 由给定的近似公式计算的结果。能准确到 0.005 .。P145 1第二十三页，共三十一页。42勒多项式逼近第二十四页，共三十一页。42勒多项式逼近第二十五页，共三十一页。思考与练习 作业 P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8;*10 (1), (2)计算解:原式第四节 第二十六页，共三十一页。泰勒 (1685 – 1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 《正的和反的增量方法》(1715) 《线性透视论》(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .他是