高数第六章 无穷级数.docx

第六章 无穷级数 无穷级数是数学分析的一个重要工具，也是高等数学的重要组成部分.本章首先讨论常数项级数，然后研究函数项级数，最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题.我们将只介绍两种最常用的级数展开式——泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式. 第一节 常数项级数的概念和性质 常数项级数的概念 在中学课程中，我们就已经遇到过“无穷项之和”的运算，比如等比级数 a + a r + a r 2 + ? + a r n + ? 另外，无限小数其实也是“无穷项的和”，比如 2? 1.4142 ? ? 1 ? 4 2 ? 1 ? 4 ? 2 ? ? 10 10 2 10 3 10 4 对于有限项之和，我们在初等数学里已经详尽地研究了；对于“无穷项之和”，这是一个未 知的新概念，不能简单地引用有限项相加的概念，而必须建立一套严格的理论. 定义 1 给定一个数列?u n ?，将它的各项依次用“ ? ”号连接起来的表达式 ? ?u ? u ? u ? ? u ? (6?1 ? ? 1 2 3 n 称做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为 ?? n ? 1 u ? u ? u ? u ? ? u ? ， ? ?n ? ? ? ?其中，u , u , , u , 都称为级数(6?1?1)的项，u 称为级数(6?1?1)的一般项或通项.级数?? u ? ? 1 2 n n n n ? 1 “无限多个数的和”.但怎样由我们熟知的“有限多个数的和”的计算转化到“无限多个数的和” 的计算呢？我们借助极限这个工具来实现。 设级数 ?? u n n ? 1 或 的前n 项的和为 S ，即 n S n  ? u ? u 1 2  ? u ?n ?  (6?1?2) S ? ?n u . n k k ? 1 我们称 S n 为级数 ?? u n n ? 1 的前 n 项部分和，简称部分和. 显然，级数?? u n n ? 1 的所有前 n 项部分和S n 构成一个数列?S n ?，我们称此数列为级数 ?? u n n ? 1 的部分和数列. 定义 2 若级数?? u n n ? 1 的部分和数列?S n ? 收敛于 S （即lim S n ? ? n ? S ），则称级数?? u n n ? 1 收敛， 称 S 为级数 ?? u n n ? 1 的和，记作 ? ?S ? u ? u ? u ? ? u ? ? ?? u ? ? 1 2 3 n n n ? 1 而 ?r ? S ? S ? u ? u ? ? n n n ? 1 n ? 2 称为级数 ?? u n n ? 1 的余项，显然有  lim r n ? ? n  ? lim ( S ? S n ? ? n  ) ? 0 . 若?S ?是发散数列，则称级数 ?? n u 发散，此时级数?? n u 没有和. n n ? 1 n ? 1 由此可知，级数的收敛与发散是借助于级数的部分和数列的收敛与发散定义的，于是研究 级数及其和只不过是研究与其相对应的一个数列及其极限的一种新形式. 例 1 设a , q 为非零常数，无穷级数 ?? n ? 0  a q n ? a ? a q ? a q 2 ? ? ? a q n ? ? (6?1?3) 称为等比级数（又称为几何级数），q 称为级数的公比.试讨论级数?? n ? 0 a q n 的敛散性. 解 若q ? 1 ，则  ?S ? a ? a q ? ? a q n ? 1 ? ? n  a ? a q n 1 ? q ? a ? a qn . 1 ? q 1 ? q 当 q ? 1 时，由于lim q n ? 0 ，从而lim S ? a ，因此这时级数?? a q 收敛，其和为 ； a n ? ? n ? ? n 1 ? q 1 ? q n ? 0 当 q ? 1 时，由于lim q n ? ? ，从而lim S ? ? ，这时级数?? a q n 发散； 当 q ? 1 时， n ? ? n ? ? n  n ? 0 若q ? 1 ，这时 S n ? n a ? ? （ n ? ? ），因此级数?? n ? 0 a q n 发散； q若 ? ? 1 ，这时级数 ?? q n ? 0 a q n 成为  a ? a ? a ? a ? ? ， 显然 S n 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或等于零，从而 S n 的极限不存在，因此级数 ?? n ? 0 a q n 发散. 综上所述，对于等比级