2022年人教A版高中数学选择性必修第三册同步培优第六章计数原理第3节二项式定理第2课时二项式系数的性质.docVIP

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2022-07-18 发布于湖北
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2022年人教A版高中数学选择性必修第三册同步培优第六章计数原理第3节二项式定理第2课时二项式系数的性质.doc

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第六章　6.3　6. A　组·素养自测一、选择题 1．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(1,\r(x))))n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是(　C　) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 [解析]　令x＝1，得出eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(1,\r(x))))n的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8； ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(1,\r(x))))8的展开式通项公式为： Tr＋1＝Ceq \o\al(r,8)·(3eq \r(x))8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝(－1)r·38－r·Ceq \o\al(r,8)·x4－r，令4－r＝0，解得r＝4． ∴展开式的常数项是Tr＋1＝T5，即第5项．故选C． 2．若9n＋Ceq \o\al(1,n＋1)·9n－1＋…＋Ceq \o\al(n－1,n＋1)·9＋Ceq \o\al(n,n＋1)是11的倍数，则自然数n为(　A　) A．奇数 B．偶数 C．3的倍数 D．被3除余1的数 [解析]　9n＋Ceq \o\al(1,n＋1)·9n－1＋…＋Ceq \o\al(n－1,n＋1)·9＋Ceq \o\al(n,n＋1) ＝eq \f(1,9)(9n＋1＋Ceq \o\al(1,n＋1)9n＋…＋Ceq \o\al(n－1,n＋1)92＋Ceq \o\al(n,n＋1)9＋Ceq \o\al(n＋1,n＋1))－eq \f(1,9) ＝eq \f(1,9)(9＋1)n＋1－eq \f(1,9)＝eq \f(1,9)(10n＋1－1)是11的倍数， ∴n＋1为偶数，∴n为奇数． 3．若a为正实数，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,x)))2 020的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2 020项为(　D　) A．eq \f(1,x2 020) B．－eq \f(1,x2 020) C．eq \f(4 040,x2 018) D．－eq \f(4 040,x2 018) [解析]由条件知，(a－1)2 020＝1，∴a－1＝±1， ∵a为正实数，∴a＝2． ∴展开式的第2 020项为： T2 020＝Ceq \o\al(2 019,2 020)·(2x)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2 019 ＝－2Ceq \o\al(1,2 020)·x－2 018＝－4 040x－2 018，故选D． 4．若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,x)))7的展开式中eq \f(1,x3)的系数是84，则实数a＝(　C　) A．2 B．eq \r(5,4) C．1 D．eq \f(\r(2),4) [解析]　二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,x)))7的通项公式为Tr＋1＝ Ceq \o\al(r,7)(2x)7－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)))r＝Ceq \o\al(r,7)27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5．故展开式中eq \f(1,x3)的系数是Ceq \o\al(5,7)22a5＝84，解得a＝1． 5．(多选题)(2021·济南高二检测)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论成立的是(　ACD　) A．a2＝－144 B．a0＝1 C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1 D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39 [解析]　对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9 ＝[－1＋2(x－1)]9，所以a2＝－Ceq \o\al(2,9)×22＝－144，故A正确；故令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2＋…－a9＝－39，故D正确．二、填空题 6．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x3)))n展开式的各项系数之和为32，则n＝__5__，其展开式中的常数项为__10__(用数字作答)． [解析]　令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Ceq \o\al(r,5)·(x