2022年人教A版高中数学选择性必修第三册同步培优第六章计数原理第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docVIP

第六章　6.1　 A　组·素养自测 一、选择题 1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为(　C　) A．182 B．14 C．48 D．91 [解析]　由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C． 2．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有(　A　) A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 [解析]　分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，故共有分法1＋2＋1＝4种． 3．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同涂色方法种数为(　C　) A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 [解析]　解法一：分两种情况： (1)A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，由分步乘法计数原理知有4×3×2＝24种． (2)A，C同色，先涂A有4种，E有3种，B，D各有2种，由分步乘法计数原理知有4×3×2×2＝48种． 由分类加法计数原理知，共有72种，故选C． 解法二：先涂A，有4种涂法，再涂B，D，①若B与D同色，则B有3种，E有2种，C有2种，共有4×3×2×2＝48种； ②若B与D不同色，则B有3种，D有2种，E有1种，C有1种，共有4×3×2×1×1＝24种， 由分类加法计数原理知，共有不同涂法48＋24＝72种． 4．体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放球方法有(　B　) A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 [解析]　首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置，有3×2＝6种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果． 综上可知共有1＋6＋3＝10种结果． 5．(多选题)下列说法正确的是(　ABD　) A．“将2封信随意投入4个邮箱，求不同投法有多少种”是一个分步乘法计数问题 B．“在1,2，…，200中，求能够被5整除的数的个数”是一个分类加法计数问题 C．某一数学问题有两种解法，有4名同学只会第一种解法，有3名同学只会第二种解法，从这些同学中任选1人解答这个问题，不同的选法有12种 D．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有36个 [解析]　对于选项A,2封信需分2步随意投入4个邮箱，只有当2步都完成才算完成，是一个分步乘法计数问题，故A正确；对于选项B，能够被5整除的数可分成末位数字是0和5两类，是一个分类加法计数问题，故B正确；对于选项C，由分类加法计数原理，共有4＋3＝7种选法，故C错误；对于选项D，∵a，b互不相等且a＋bi为虚数，∴b只能从{1,2,3,4,5,6}中选一个，有6种选法，a从剩余的6个中选一个，也有6种选法，∴根据分步乘法计数原理知虚数有6×6＝36个，故D正确．故选ABD． 二、填空题 6．(2021·合肥一中月考)有A，B，C型号的高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4名操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型号的电脑，而丁只会操作A型号的电脑．从这4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有__8__种． [解析]　要完成“从4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑”这件事，可分四类：第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型号的电脑，故有2×2×1＝4(种)选派方法；第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型号的电脑，故有2种选派方法；第三类，选甲、丙、丁3人，这时只有1种选派方法；第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种选设方法．根据分类加法计数原理，知共有4＋2＋1＋1＝8(种)选派方法． 7．(2020·辽宁大连高三二模)甲、乙等5个志愿者被分配到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少一个志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有__72__种． [解析]　由题意知本题是一个分步计数问题，设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在A，B，C，D四个岗位中选一个，有4种选择；乙在剩下的3个岗位中选一个，有3种选择．丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个岗位，每人有2个选择，总共有2×2×2＝8种选择，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况，即有8－2＝6种选择，∴所求方法数为4×3×6＝72． 8．(2021·海南