2022年人教A版高中数学选择性必修第三册同步培优第七章随机变量及其分布列第2节离散型随机变量及其分布列.docVIP

第七章　7.2 A　组·素养自测 一、选择题 1．(多选题)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减去第二枚骰子掷出的点数之差为X，那么“X≤－4”表示的随机事件的结果是(　BCD A．第一枚1点，第二枚4点 B．第一枚2点，第二枚6点 C．第一枚1点，第二枚5点 D．第一枚1点，第二枚6点 [解析]　抛掷两枚骰子，点数之差满足小于等于－4的只有三种情况，故第一枚为1点、第二枚为6点，第一枚为1点、第二枚为5点，第一枚为2点、第二枚为6点． 2．随机变量ξ的分布列如下． ξ 0 1 2 P a b c 其中a＋c＝2b，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　B　) A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(5,6) [解析]　由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq \f(1,3)． ∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， ∴P(ξ＝1)＝eq \f(1,3)．故选B． 3．设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X 0 1 P 9a2－ 3－8 则常数a的值为(　A　) A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,3)或eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)或－eq \f(2,3) [解析]　由分布列性质可得：9a2－a＋3－8 ∴9a2－9 ∴a1＝eq \f(1,3)，a2＝eq \f(2,3)， 当a＝eq \f(2,3)时，3－8a0不合题意，∴a＝eq \f(1,3)，故选A． 4．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(1,2k)，k＝1，2，…．则P(2X≤4)等于(　A　) A．eq \f(3,16) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,16) D．eq \f(1,5) [解析]　P(2x≤4)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＝eq \f(1,23)＋eq \f(1,24)＝eq \f(3,16)． 5．(2021·安徽合肥)两名学生参加考试，随机变量X代表通过的学生数，其分布列为 X 0 1 2 P eq \f(1,3) eq \f(1,2) a 那么这两人通过各自考试的概率的最小值分别为(　B　) A．eq \f(1,6)；eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)；eq \f(1,3) C．eq \f(1,2)；eq \f(1,3) D．eq \f(1,2)；eq \f(1,2) [解析]　依题意得，这两名同学通过各自考试的事件是相互独立的．设这两人通过各自考试的事件分别是A，B，依题意得，[1－P(A)]·[1－P(B)]＝eq \f(1,3)，P(A)P(B)＝1－eq \f(1,3)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，解得P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,2)或P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,3)． 所以这两人通过各自考试的概率的最小值均为eq \f(1,3)．故选B． 二、填空题 6．(2021·山西大同)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，记下它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为 __ X 0 1 2 P eq \f(1,4) eq \f(1,2) eq \f(1,4) __． [解析]　由题意可得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2． P(X＝0)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，P(X＝1)＝2×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，P(X＝2)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)． ∴X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(1,4) eq \f(1,2) eq \f(1,4) 7．(2021·天津红桥)已知随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 若Y＝2X－3，则P(Y＝5)的值为__0.2__． [解析]　当Y＝5时，由2X－3＝5得X＝4， 所以P(Y＝5)＝P(X＝4)＝0.2． 8．(2021·山东寿光)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝__0.5__． [解析]　由离散型随机变量分布列的性质可得0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3， 则P(Y＝2)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝0.2＋0.3＝0.5． 三、解答题 9．一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个