2022年人教A版高中数学选择性必修第三册同步培优第六章计数原理第2节排列与组合 习题课 排列数的应用.docVIP

第六章　习题课 A　组·素养自测 一、选择题 1．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　D　) A．24 B．48 C．60 D．72 [解析]　由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有Aeq \o\al(1,3)种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有Aeq \o\al(4,4)种方法，所以奇数的个数为Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(4,4)＝3×4×3×2×1＝72． 2．(2021·嘉兴一中月考)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(　D　) A．56 B．54 C．53 D．52 [解析]　在8个数中任取2个不同的数可以组成Aeq \o\al(2,8)＝56(个)对数值．但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)． 3．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，那么不同的排法有(　C　) A．48种 B．24种 C．60种 D．120种 [解析]　五门课程随意安排有Aeq \o\al(5,5)种排法，数学课在历史课前和历史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史课前的排法有eq \f(1,2)Aeq \o\al(5,5)＝60(种)． 4．(多选)停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有(　AD　) A．Aeq \o\al(9,9)种 B．Aeq \o\al(9,9)Aeq \o\al(4,4)种 C．8Aeq \o\al(8,8)种 D．9Aeq \o\al(8,8)种 [解析]　将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有Aeq \o\al(9,9)＝9Aeq \o\al(8,8)种． 5．三位女生坐到二排四列的8个位置中，要求同列中最多只有一个女生，同排中任两个女生不相邻，则不同的排法数为(　A　) A．72 B．36 C．48 D．96 [解析]　根据题意，完成这件事可分两步：第一步，先在8个位置中选取符合条件的3个位置，有2×2＋2×4＝12种情况；第二步，将三位女生全排列，安排到选出的3个位置，有Aeq \o\al(3,3)＝6种情况．根据分步乘法计数原理，共有12×6＝72种排法． 二、填空题 6．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是__40__． [解析]　可分为三步来完成这件事： 第一步：先将3,5进行排列，共有Aeq \o\al(2,2)种排法； 第二步：再将4,6插空排列，共有2Aeq \o\al(2,2)种排法； 第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有Aeq \o\al(1,5)种排法； 由分步乘法计数原理得，共有2Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(1,5)＝40种不同的排法． 7．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__96__． [解析]　先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有Aeq \o\al(4,4)种，因此共有不同的分法4Aeq \o\al(4,4)＝4×24＝96(种)． 8.2020年某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有__24__种．(用数字作答) [解析]　将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×Aeq \o\al(2,3)＝24种． 三、解答题 9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？ [解析]　(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有Aeq \o\al(2,5)种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有Aeq \o\al(6,6)种排法，故共有不同排法Aeq \o\al(2,5)Aeq \o\al(6,6)＝14