2022年人教A版高中数学选择性必修第三册同步培优第七章随机变量及其分布列第3节离散型随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的均值.docVIP

第七章　7.3　7. A　组·素养自测 一、选择题 1．(多选题)下列说法不正确的是(　ABD　) A．随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化 B．随机变量的均值反映样本的平均水平 C．若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4 D．随机变量X的均值E(X)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n) [解析]　A错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．B错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．C正确，由均值的性质可知．D错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn． 2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(1,4)，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为(　A　) A．eq \f(5,2) B．eq \f(7,2) C．eq \f(1,4) D．2 [解析]　∵P(X＝k)＝eq \f(1,4)(k＝1,2,3,4)， ∴E(X)＝(1＋2＋3＋4)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,2)，故选A． 3．(2021·江苏徐州高二检测)已知离散型随机变量X的概率分布列如下： X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E(X)＝7.5，则a等于(　C　) A．5 B．6 C．7 D．8 [解析]　∵0.3＋0.1＋b＋0.2＝1得b＝0.4， ∴E(X)＝4×0.3＋a×0.1＋9×0.4＋10×0.2＝7.5， ∴a＝7，故选C． 4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是： ξ 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 η 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判定(　A　) A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 [解析]　E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7． 因为E(η)＞E(ξ)，故甲比乙质量好． 5．如果a1，a2，a3，a4，a5，a6的期望为3，那么2(a1－3)，2(a2－3)，2(a3－3)，2(a4－3)，2(a5－3)，2(a6－3)的期望是(　A　) A．0 B．3 C．6 D．12 [解析]　由E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2×3－6＝0． 二、填空题 6．某射手射击所得环数X的分布列如下： X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知X的期望E(X)＝8.9，则x的值为__0.4__． [解析]　∵x＋y＝0.6,7x＋10y＝8.9－0.8－2.7， 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0.2，,y＝0.4.)) 7．一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X，Y，设ξ＝Y－X，则E(ξ)＝__eq \f(4,3)__． [解析]　由题意知ξ的取值为0,1,2，ξ＝0，表示X＝Y；ξ＝1表示X＝1，Y＝2，或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3． ∴P(ξ＝0)＝eq \f(3,33)＝eq \f(1,9)，P(ξ＝1)＝eq \f(2×2×3,33)＝eq \f(4,9)， P(ξ＝2)＝eq \f(2×3＋A\o\al(3,3),33)＝eq \f(4,9)， ∴E(ξ)＝0×eq \f(1,9)＋1×eq \f(4,9)＋2×eq \f(4,9)＝eq \f(4,3)． 8．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为： X 0 1 2 P eq \f(1,2)－p p eq \f(1,2) 则E(X)的最大值为__eq \f(3,2)__． [解析]　由表可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤\f(1,2)－p≤1，,0≤p≤1，))从而得p∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，期望值E(X)＝0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋1×p＋2×eq \f(1,2)＝p＋1，当且仅当p＝eq \f(1,2)时，E(X)最大值＝eq \f(3,2)． 三、解答题 9．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望． [解析]　(1)令