概率论第六章课后习题答案.docxVIP

习题六 ?1 ．设总体 X 的概率密度为 f (x;?) ? ?(? ? 1)x? ? ? 0  0 ? x ? 1 ，其中 ? ? ?1 ， 其它 X , X , 1 2 , X 为来自总体 X 的样本，求参数? 的矩估计量。 n 解：总体的一阶原点矩为v ? E( X ) ? ??? xf (x;?)dx ? ?1 (? ? 1)x??1dx ? ? ? 1 ， 1 ?? 0 ? ? 2 而样本的一阶原点矩为 A 1 ? 1 ?n X n i i ?1 ? X ，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶 原点矩，即有? ? 1 ? ? 2  ? X ，由此得? 的矩估计量为?? ? 2 X ? 1. 1 ? X 3．设总体 X ~ U (0,? ) ，现从该总体中抽取容量为 10 的样本，样本观测值 为： 0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6 试求参数? 的矩估计值。 解： 总体的一阶原点矩为 v 1  ? E( X ) ? ? 2  ， 而样本的一阶原点矩为 A ? 1 ?n X 1 n i i ?1 ? X ，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有 ? ? X ， 2 由此得? 的矩估计量为?? ? 2X ，其矩估计值为 ?? ? 2x ? 2 ? 1 (0.5 ? 1.3 ? 0.6 ? 1.7 ? 2.2 ? 1.2 ? 0.8 ? 1.5 ? 2.0 ? 1.6) ? 2.68 10 6．设 x , x , 1 2 , x 为来自总体 X 的一组样本观测值，求下列总体概率密度中? n 的最大似然估计值。 ?? x??1 0 ? x ? 1 （1） f (x;?) ? ? （? ? 0 ）； ? 0 其它 ?（2） f (x;?) ? ???? x? ?1e?? x? x ? 0 （? 已知）； ? ?? 0 其它 ? x ? x 2 x ? 0 （3） f (x;?) ? ? ??? 2 ? ? e 2?2 0  x ? 0 解：（1）似然函数为 ?n  ??n  ?? ??1，0 ? x ? i i  ? 1(i ? 1,2,?, n) L(? ) ? f (x ;?) ? ? x i i i ?1 ?? i ?1 0 ， 其它 因为 0 不是 L(? ) 的最大值，考虑 L(? ) ? ?n ?x??1,0 ? x ? 1 (i ? 1,2,?, n) 两边取对数，得 ln L ? ?n i ?1 i i i ?1 [ln? ? (? ? 1) ln x ] i 解方程 d ln L ? ?n ( 1 ? ? ln x ) ? 0 ，即 n ?n ln x ? 0 d? ??i i ?1 ??i i ?1 解得?? ? ? ?n i ?1 n ln x i ，即为? 的最大似然估计值。 似然函数为 n ??n  ?? ? ?1 ??x?，x  ? 0(i ? 1,2,?, n) ?L(? ) ? ? f (x ;?) ? ? ? x e i i i i i ?1 ?? i ?1 0 ，其它 i因为 0 不是 L(? ) 的最大值，考虑 L(? ) ? ?n ??x? ?1e??x?, x i ? 0 (i ? 1,2,?, n) i i i ?1 两边取对数，得 ln L ? ?n i ?1 [ln? ? ln? ? (? ? 1) ln x i ??x?] i 解方程 d ln L ? ?n ( 1 ? x?) ? 0 ，即 n ?n x? ? 0 d? ? i i ?1 ??i i ?1 解得?? ? n ，即为? 的最大似然估计值。 ?n x? i i ?1 似然函数为 n  ??n x ? x 2 ，x i i  ? 0 (i ? 1,2,?, n) ?L(? ) ? ? f (x ;?) ? ? ? i e 2?2 i ? 2 i ? i ?1 ，其它 i ?1 ??0 因为 0 不是 L(? ) 的最大值，考虑 L(? ) ? n x x 2 ?ii e 2?2 , x ? i ? 0 (i ? 1,2, , n) 两边取对数，得 ln L ? ?n (ln x ? 2ln? ? ? 2 i i?1 x 2 i ) i i ?1 2? 2 解方程 d ln L ? ?n (? 2 ? x 2 i ) ? 0 ，即? 2n ? 1 ?n x 2 ? 0 d? ? ? 3 i ?1 ? ? 3 i i ?1 ?nx2ii ?12n解得 ?n x 2 i i ?1 2n 8．若总体 X 服从参数为