8.2 一元线性回归模型及其应用 导学案.docxVIP

8.2 一元线性回归模型及其应用 1.能通过具体实例说明一元线性回归模型修改的依据与方法. 2.通过对具体问题的进一步分析，能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题并加以解决，提高数学运算能力. 3.能通过实例说明决定系数R2的意义和作用，提高数据分析能力。 重点：决定系数R2的意义和作用 难点：某些非线性回归问题转化为线性回归问题 一元线性回归模型 用X表示父亲身高,Y表示儿子身高,e表示随机误差,假定随机误差e的均值为0,方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之间的关系可以表示为Y=bx+a+e??????????E 我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型(simple linear regression model). 其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差,模型中的Y也是随机变量,其值虽然不能由变量x的值确定,但是却能表示为bx+a与e的和(叠加),前一部分由x所确定,后一部分是随机的,如果e=0,那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 2. 经验回归方程 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法． 注意： 1、经验回归必过(x,y).；2、a,b,c都是估计值. 3. 残差分析. 我们称yi为响应变量Y的观测值，通过经验回归方程得到的yi为预测值.为了研究回归模型的有效性，定义残差为ei=yi-yi 4.决定系数R2刻画回归效果. R2越大，表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好 R2越小，表示残差平方和越大，即模型拟合效果越差. 问题探究 通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等. 如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测. 探究1:生活经验告诉我们,儿子的身高与父亲的身高相关.一般来说,父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示., 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关.利用统计软件，求得样本相关系数为r≈0.886，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高 探究2. 根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 探究3：从成对样本数据的散点图和样本相关系数可以发现，散点大致分布在一条直线附近表明儿子身高和父亲身高有较强的线性关系.我们可以这样理解，由于有其他因素的存在，使儿子身高和父亲身高有关系但不是函数关系.那么影响儿子身高的其他因素是什么？ 探究4：由探究3我们知道，正是因为存在这些随机的因素，使得儿子的身高呈现出随机性各种随机因素都是独立的，有些因素又无法量化.你能否考虑到这些随机因素的作用，用类似于函数的表达式，表示儿子身高与父亲身高的关系吗？ 问题1. 你能结合父亲与儿子身高的实例，说明回归模型①的意义？ ① ① 问题2.你能结合具体实例解释产生模型①中随机误差项的原因吗？ 问题3：为了研究两个变量之间的相关关系，我们建立了一元线性回归模型达式 刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关 系，其中参数a和b未知，我们能否通过样本数据估计参数a和b? 问题4.我们怎样寻找一条“最好”的直线，使得表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最“接近”？ 问题5：利用下表的数据，依据用最小二乘估计一元线性回归