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引言 第四章 函数的连续性 （14 学时） 在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。从今天开始，我们就来看看这类函数的特点。主要讲以下几个问题： １．什么是“函数的连续性”？ ２．“间断”或“不连续”有哪些情形？ ３．连续函数有哪些性质？ ４．初等函数的连续性有何特点？ §１ 连续性概念 教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。 教学要求：（１）使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；（２）应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；（３ ）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。 教学重点：函数连续性概念。教学难点：函数连续性概念。学时安排: 4 学时 教学程序： 引言 “连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的。例如下图１中的函数 0y ? f ( x ) ，我们说它是连续的，而图２中的函数在 x 处是间断的。 0 由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。 当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性。 例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如 Rieman 函 数）。 因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究。 110 1 11 1 11从图２看出，在 x 处，函数值有一个跳跃，当自变量从 x 左侧的近傍变到 x 右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化。而在其它点处（如 x 处），情况则完全相反。：当自变量从 x 向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说， 当自变量 x 靠近 x 时，函数值就靠近 f ( x ) ，而当 x ? x 时， f ( x ) ? f ( 1 1 0 1 1 1 1 11 当 x ? x 时， f ( x ) 以 f ( x ) 为极限，即lim f ( x ) ? f ( x1 ) 。 11 1 x ? x 1 根据这一分析，引入下面的定义： — 函数在一点的连续性 １． 函数 f 在点 x0 连续的定义 定义１（ f 在点 x  连续）设函数 f 在某U ( x ) 内有定义，若lim f ( x ) ? f ( x0 ) ，则称 f 0 0 0在点 x 连续。 0 x ? x 0 lim f ( x ) ? f ( x ) ? f ( lim x ) 注 0 ，即“ f 在点 x  0连续”意味着“极限运算与对应 0 x ? x 0 法则 f 可交换。 ２．例子 x ? x 0 0 0例１．? x ? R , sin x , cos x 在 x 0 0 lim (2 x ? 1) ? 5 ? f (2) 例２．  x ? 2 。 ? 1 ? x sin  , x ? 0 f ( x ) ? ??x 例３．讨论函数 ?? 0 , x ? 0 在点 x=0 处连续性。 0３．函数 f 在点 x 连续的等价定义 0 0 0 0１） 记号 ： ? x ? x ? x — — 自变量 x 在点的增量或改变量。设 y ? f ( x ) 0 0 0 0 0 0 0 0? y ? f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ? y ? y ——函数 y 在点 x 0 0 0 0 0 注：自变量的增量? x 或函数的增量? y 可正、可负、也可为零。（区别于“增加”）。 0２） 等价定义１：函数 f 在点 x 0  连续? lim ? y ? 0 ? x ? 0 。 0 0３） 等价定义２ ： 函数 f 在点 x 连续 ? ? ? ? 0 ,?? ? 0 ， 当 | x ? x |? ? 时 0 0 。| f ( x )? f ( x )?| ? 。 0 注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。如用三种定义，可以证明以下命题： 例４．证明函数 f ( x ) ? xD ( x ) 在点 x ? 0 连续，其中 D ( x ) 为 Dirichlet 函数。 ４．函数 f 在点 x0 有极限与函数 f 在点 x0 连续之间的关系 0 0１） 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定 f