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第三章 函数极限 （14 学时） 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说： a? ? a “极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列 n 这 a? ? a 种变量即是研究当 n ? ?? 时， n 的变化趋势。 n?我们知道，从函数角度看，数列 ?a ?可视为一种特殊的函数 f ，其定义域为 N ，值 n ? n域是?a ?，即 n  ; 或 或 .f : N ? R ( n ? a ) f ( n ) ? a , n ? N f ( n ) ? ; 或 或 . n n ? n n研究数列?a ?的极限，即是研究当自变量 n ? ?? 时，函数 f ( n ) 变化趋势。 n 此处函数 f ( n ) 的自变量 n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n ? ?? 。但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x ? R ，那么情况又如何呢？ 具体地说，此时自变量 x 可能的变化趋势是否了仅限于x ? ?? 一种呢？ 为此，考虑下列函数: ?1, x ? 0; f ( x ) ? ? ? 0, x ? 0. 类似于数列，可考虑自变量 x ? ?? 时， f ( x ) 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量 x ? ?? 时， f ( x ) 的变化趋势；还可考虑自变量 x ? ? 时， f ( x ) 的变化趋势；还可考虑自变量 x ? a 时， f ( x ) 的变化趋势, 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。但 同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。 下面，我们就依次讨论这些极限。 §1 函数极限的概念 教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。 教学要求 ：使学生逐步建立起函数极限的 ? ? ? 定义的清晰概念。会应用函数极限的 ? ? ? 定义证明函数的有关命题，并能运用? ? ? 语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：函数极限的概念。 教学难点：函数极限的? ? ? 定义及其应用。学时安排: 2 学时 教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序： 一、 x ? ?? 时函数的极限 １．引言 设函数定义在[ a , ?? ) 上，类似于数列情形，我们研究当自变量 x ? ?? 时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。 f ( x )? 1 例如 x  , x 无限增大时， f ( x ) 无限地接近于０； g ( x ) ? arctgx , x 无限增大 ? 时， f ( x ) 无限地接近于 2 ； h ( x ) ? x , x 无限增大时， f ( x ) 与任何数都不能无限地接近。 正因为如此，所以才有必要考虑 x ? ?? 时， f ( x ) 的变化趋势。我们把象 f ( x ) ， g ( x ) 这样当 x ? ?? 时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当 x ? ?? 时有极限Ａ”。 [问题]如何给出它的精确定义呢 ? 类似于数列, 当 x ? ?? 时函数极限的精确定义如下. x ? ?? 时函数极限的定义 定义１ 设 f 为定义在[ a , ?? ) 上的函数，Ａ为实数。若对任给的 ? ? 0 ，存在正数Ｍ (? a ) ，使得当 x ? M 时有 | f ( x ) ? A |? ? , 则称函数 f 当 x ? ?? 时以Ａ为极限。记作 或 .lim f ( x ) ? A f ( x ) ? A ( x ? ?? 或 . x ? ?? ３．几点注记 （１） 定义１中作用? 与数列极限中? 作用相同，衡量 f ( x ) 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明 x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数 x ，而不仅仅是正整数 n。 （２） f ( x )? （３） lim f ( x ) ? A 的 邻 域 描 述 ： ? ? , ? U ( ?? ), 当 x ? U ( ?? ) 时 ， x ? ??U ( x ? ?? x ? ??lim f ( x ) ? A 的几何意义：对? ? ，就有 y ? A ? ? 和 y ? A ? x ? ?? 形成以Ａ为中心线，以 2? 为宽的带形区域。“当 x ? M 时