武夷山市第四中学届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第8节 第3课时 定点定值探性问题课时作业.docVIP

第八章 平面解析几何 授课提示：对应学生用书第333页 [A组　基础保分练] 1．(2021·成都模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短轴长为4eq \r(2)，离心率为eq \f(1,3). (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，直线F1M的斜率为2eq \r(6)，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k1＋2k2的值． 解析：(1)由题意，得2b＝4eq \r(2)，eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)， 又a2－c2＝b2， ∴a＝3，b＝2eq \r(2)，c＝1. ∴椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1. (2)由(1)，可知A(－3,0)，B(3,0)，F1(－1,0)， 据题意，F1M的方程为y＝2eq \r(6)(x＋1)． 记直线F1M与椭圆的另一交点为M′ 设M(x1，y1)(y1＞0)，M′(x2，y2)， ∵F1M∥F2N 得N(－x2，－y2)， 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8x2＋9y2＝72，,y＝2\r(6)?x＋1?，))消去y，得14x2＋27x＋9＝0. ∵x1＞x2，∴x1＝－eq \f(3,7)，x2＝－eq \f(3,2)， ∵k1＝eq \f(y1,x1＋3)＝eq \f(2\r(6)?x1＋1?,x1＋3)＝eq \f(4\r(6),9)， k2＝eq \f(－y2,－x2－3)＝eq \f(2\r(6)?x2＋1?,x2＋3)＝eq \f(－2\r(6),3). ∴3k1＋2k2＝3×eq \f(4\r(6),9)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)))＝0， 即3k1＋2k2的值为0. 2．(2021·广州四校联考)设斜率不为0的直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，与椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，k3，k4. (1)若直线l过点(0,4)，证明：OA⊥OB； (2)求证：eq \f(k1＋k2,k3＋k4)的值与直线l的斜率的大小无关． 证明：设直线l的方程为y＝kx＋m，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)依题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＝4y1，,x\o\al(2,2)＝4y2，))两式相乘得(x1x2)2＝16y1y2， 若直线l过点(0,4)，则直线l的方程为y＝kx＋4，将直线l的方程代入抛物线x2＝4y，得x2－4kx－16＝0，易知Δ＞0， ∴x1x2＝－16，∴y1y2＝16， ∴eq \o(OA,\s\up15(→))·eq \o(OB,\s\up15(→))＝x1x2＋y1y2＝0，∴eq \o(OA,\s\up15(→))·eq \o(OB,\s\up15(→))＝0， ∴OA⊥OB. (2)设C(x3，y3)，D(x4，y4)． 联立y＝kx＋m和x2＝4y，化简得x2－4kx－4m＝0，易知Δ＞0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4 k1＋k2＝eq \f(y1,x1)＋eq \f(y2,x2)＝eq \f(x1,4)＋eq \f(x2,4)＝k， 联立y＝kx＋m和eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1，化简得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－12＝0， 在Δ＝(6km)2－4(2＋3k2)(3 x3＋x4＝eq \f(－6km,2＋3k2)，x3x4＝eq \f(3m2－12,2＋3k2)， k3＋k4＝eq \f(y3,x3)＋eq \f(y4,x4)＝2k＋eq \f(m,x3)＋eq \f(m,x4)＝2k＋eq \f(m?x3＋x4?,x3x4)＝2k＋eq \f(－6km2,3m2－12)＝eq \f(－8k,m2－4)， ∴eq \f(k1＋k2,k3＋k4)＝－eq \f(m2－4,8)，是一个与直线l的斜率k无关的值． [B组　能力提升练] 1．(2021·顺义区模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，长轴长为2eq \r(3). (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为1的直角l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于A，B两点，设M为椭圆C上任意一点，且eq \o(OM,\s\up15(→))＝λeq \o(OA,\s\up15(→))＋μeq \o(OB,\s\up