（新）7.9 三角形的外角性质（重点题专项讲练）（苏科版）（附答案）.docxVIP

专题7.9三角形的外角性质 【典例1】阅读下面的材料，并解决问题． 〔1〕在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出以下角度的度数． 如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝； 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝． 〔2〕如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠ 〔3〕如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，假设∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数． 【思路点拨】 〔1〕由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； 〔2〕由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； 〔3〕先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数． 【解题过程】 解：〔1〕如图1，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1 ∴∠OBC+∠OCB =12〔∠ABC+∠ =12〔180°﹣∠ =12〔180°﹣ ＝60° ∴∠O＝180°﹣〔∠OBC+∠OCB〕＝120°； 如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD ∴∠OBC=12∠ABC，∠OCD=1 ∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD=12〔∠ABC+∠ ∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC =12∠ABC+12∠ =12 ＝30° 如图3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD ∴∠OBC=12∠EBC，∠OCB=1 ∴∠OBC+∠OCB =12〔∠EBC+∠ =12〔∠A+∠ACB+∠ =12〔∠A =12〔 ＝120° ∴∠O＝180°﹣〔∠OBC+∠OCB〕＝60° 如图4，∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2 ∴∠O2BC=23∠ABC，∠O2CB=23∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1 ∴∠O2BC+∠O2CB =23〔∠ABC+∠ =23〔180°﹣∠ =23〔180°﹣ ＝80° ∴∠BO2C＝180°﹣〔∠O2BC+∠O2CB〕＝100° ∴∠BO2O1=12∠BO2C 故答案为：120°，30°，60°，50°； 〔2〕证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1 ∠O＝180°﹣〔∠OBC+∠OCB〕 ＝180°-12〔∠ABC+∠ ＝180°-12〔180°﹣∠ ＝90°+12∠ 〔3〕∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20° ∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20° ∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25° ∴∠ACB＝2∠BCO2＝50° ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70° 或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β， ∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45° ∴α＝20°，β＝25° ∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°， ∴∠A＝70°． 1．〔2022秋?双流区期末〕如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．则以下结论正确的选项是〔　　〕 A．∠1＞∠DB．∠D＞∠2C．∠1＝∠2+∠3D．∠3＝∠A 【思路点拨】 根据三角形的外角性质得出∠2＞∠D，∠1＞∠2，∠1＝∠A+∠2，∠2＝∠3+∠D，再逐个判断即可． 【解题过程】 解：A．∵∠2＞∠D，∠1＞∠2， ∴∠1＞∠D，故本选项符合题意； B．∠2＞∠D，故本选项不符合题意； C．∠1＝∠2+∠A＝∠D+∠3+∠A，∠2+∠3＝∠D+∠3+∠3＝2∠3+∠D， 又∵∠3和∠A不一定相等， ∴∠1和∠2+∠3不一定相等，故本选项不符合题意； D．∠3和∠A不一定相等，故本选项不符合题意； 应选：A． 2．〔2022秋?秦都区期末〕如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，假设∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是〔　　〕 A．β＝α+γB．β＝2γ﹣αC．β＝α+2γD．β＝2α﹣2γ 【思路点拨】 根据平行线的性质得到∠B＝∠EFC＝β，由角平分线的定义得到∠ACB＝2∠BCD，根据∠ADC是△BDC的外角，得到∠ADC＝∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC＝∠B+∠ACB，于是得到结果． 【解题过程】