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PAGE PAGE 3 / 14 九年级数学圆的性质及习题 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心；定长为半径的圆； 固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧；简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 dr d r O B d C 1、点在圆内 ? d ? r ? 点C 在圆内； A 2、点在圆上 ? d ? r ? 点 B 在圆上； 3、点在圆外 ? d ? r ? 点 A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d ? r ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d ? r ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d ? r ? 有两个交点； rdd=r r d d=r r d 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1） ? 无交点 ? d ? R ? r ； 外切（图 2） ? 有一个交点 ? d ? R ? r ； 相交（图 3） ? 有两个交点 ? R ? r ? d ? R ? r ； 内切（图 4） ? 有一个交点 ? d ? R ? r ； dRr内含（图 5） ? 无交点 ? d ? R ? r d R r dR d R r d R r 图1 图2 图3 dR d R r d r R 图4 图5 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心；并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径；垂直平分弦；并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理；简称2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中；只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论；即： ① AB 是直径 ② AB ? CD ③ CE ? DE ④ 弧 BC ? 弧 BD ⑤ 弧 AC ? 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 AOE A O E C D O A B 即：在⊙ O 中；∵ AB ∥ CD C D ∴弧 AC ? 弧 BD B 六、圆心角定理 顶点到圆心的角；叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中；相等的圆心角所对的弦相等；所对的弧相等；弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理；即上述四个结论中； 只要知道其中的 1 个相等；则可以推出其它的 3 个结论； E 即：① ?AOB ? ?DOE ；② AB ? DE ； F O ③ OC ? OF ；④ 弧 BA ? 弧 BD D A C B 七、圆周角定理 CO C O A 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的 即：∵ ?AOB 和?ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 B ∴ ?AOB ? 2?ACB 2、圆周角定理的推论： DCOA推论 D C O A 即：在⊙ O 中；∵ ?C 、?D 都是所对的圆周角 B ∴ ?C ? ?D 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所圆；所对的弦是直径。 即：在⊙ O 中；∵ AB 是直径 或∵ ?C ? 90? B ∴ ?C ? 90? ∴ AB 是直径  角的一半。 相等的圆周角 对的弧是半 OC O A 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半；那么这个三 C 角三角形。 即：在△ ABC 中；∵ OC ? OA ? OB B A O ∴△ ABC 是直角三角形或?C ? 90? 角 形 是 直 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形 CDBA C D B A E ∵四边形 ABCD 是内接四边形 ∴ ?DAE ? ?C ?C ? ?BAD ? 180? ?B ?? D ? 180? 九、切线的性质与判定定理 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径；二者缺一不可 O即：∵ MN ? OA 且 MN 过半径OA 外端 O ∴ MN 是⊙ O 的切线 性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切 点。 M A N 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆 心