矩阵分解（课堂PPT）.ppt

矩 阵 论 电 子 教 程; ; ;从而达到求解线性方程组 的目的. ; ;; L 为一般下三角阵而 为单位上三角阵的分解称为Crout 分解。 为单位下三角阵而 为一般上三角阵的分解称为Doolittle分解;通过比较法直接导出 和 U 的计算公式。; ;例1:求A的Crout分解和 分解;由此:;将 继续分解成 得出:;2021/3/29;定理2: 设 ，那么 可唯一地分解为 其中： ， 为正线上三角阵; ; ;例 1 求下列矩阵的正交三角分解;2021/3/29;再将其单位化，得到一组标准正交向量组;这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成;将上面的式子矩阵化，即为;解答:首先判断出 ,由定理可知必存在 以及三阶正线上三角矩阵 使得;定理：设 ，那么存在 使得：; ; 且满足; ;解 ：（1）对此矩阵只实施行变换可以得到 ;;同样，我们也可以选取;解（2）对此矩阵只实施行变换可以得到 所以 ，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。;选取 ;解：（3）对此矩阵只实施行变换可以得到 ;; 由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵，将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行满秩矩阵。但是不同的分解形式之间有如下联系：;Good