微分方程在经济学中的应用.docVIP

PAGE / NUMPAGES 第四节 微分方程在经济学中的应用 微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用． 一、 供需均衡的价格调整模型 在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某商品的供给量S及需求量D与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为 S?a1?b1P, D?a?bP, 其中a1,b1,a,b均为常数，且b1＞0,b＞0；P为实际价格． 供需均衡的静态模型为 显然，静态模型的均衡价格为 Pe?． 对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras）假设：超额需求［D(P)?S(P)］为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此，t时刻价格的变化率与超额需求D?S成正比，即 ?k(D?S)，于是瓦尔拉假设下的动态模型为 整理上述模型得 ??(Pe?P), 其中??k(b?b1)＞0,这个方程的通解为 P(t)?Pe?Ce??t． 假设初始价格为P(0)?P0,代入上式得，C?P0?Pe,于是动态价格调整模型的解为 P(t)?Pe?(P0?Pe)·e??t， 由于?＞0，故 ?Pe． 这表明，随着时间的不断延续，实际价格P(t)将逐渐趋于均衡价格Pe． 二、 索洛(Solow)新古典经济增长模型 设Y(t)表示时刻t的国民收入，K(t)表示时刻t的资本存量，L(t)表示时刻t的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型： 其中s为储蓄率(s＞0)，?为劳动力增长率(?＞0)，L0表示初始劳动力(L0＞0)，r?称为资本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量．将K?rL两边对t求导，并利用??L，有 ． 又由模型中的方程可得 ?sLf(r,1), 于是有 ??r?sf(r,1)． (10?4?1) 取生产函数为柯布?道格拉斯(Cobb?Douglas)函数，即 f(K,L)?A0K?L1??＝A0Lr?， 其中A0＞0，0＜?＜1均为常数． 易知f(r,1)?A0r?，将其代入(10?4?1)式中得 ??r?sA0r?． (10?4?2) 方程两边同除以r?，便有 r????r1???sA0． 令r1???z,则?(1??)??? ,上述方程可变为 ?(1??)?z?sA0(1??)． 这是关于z的一阶非齐次线性方程，其通解为 z?Ce??(1??)t? (C为任意常数)． 以z?r1??代入后整理得 r(t)?． 当t?0时，若r(0)?r0,则有 C?r01??－A0． 于是有 r(t)? ． 因此， ． 事实上，我们在(10?4?2)式中，令?0,可得其均衡值re?. 三、 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t时刻产品销售的增长率与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N?x(t)也成正比，于是有 ?kx(N?x)， (10?4?3) 其中k为比例系数，分离变量积分，可以解得 x(t)? (10?4?4) 方程(10?4?3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10?4?4)也称为逻辑斯谛曲线． 由 ? 以及 ?， 当x(t*)＜N时，则有＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)?时，?0;当x(t*)＞时，＜0；当x(t*)＜时，＞0．即当销量达到最大需求量N的一半时，产品最为畅销，当销量不足N一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小． 国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(10?4?4)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益． 习题10?4 1． 某公司办公用品的月平均成本C与公司雇员人数x有如下关系： C′?C2e?x?2 且C(0)?1,求C(x)． 2． 设R?R(t)为小汽车的运行成本，S?S(t)为小汽车的转卖价值，它满足下列方程： R′?, S′??bS, 其中a,b为正的已知常数，若R(0)?0,S(0)?S