特征值与特征向量学案.docVIP

PAGE / NUMPAGES §2.5特征值与特征向量 【学习目标】 1.理解特征值与特征向量的含义. 2.掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法,能从几何变换的角度加以解释. 3.能利用矩阵的特征值和特征向量求向量多次变换的结果. 【学习重点】特征值与特征向量的概念 【学习难点】求矩阵的特征值和特征向量 【学习过程】 一、问题情境: 已知伸压变换矩阵M= , 向量α=和β=在M对应的变换作用下得到的向量α′和β′分别与α, β有什么关系? 对伸压变压矩阵N=呢? 二、建构数学 1.矩阵的特征值和特征向量的定义. 2.特征多项式 3.矩阵M=的特征值和特征向量的计算方法: (1) (2) (3) 三、数学应用 例1 从几何变换的角度对问题情境中的两个矩阵M,N的特征值与特征向量加以解释 变式 从几何变换的角度写出矩阵的特征向量与特征值。. (1)A= (2) B= （3）C= （4）D= 思考1 属于一个特征值的特征向量唯一吗？如何解释？ 思考2 不同特征值下的特征向量是否共线？ 思考3 并非所有的变换都是我们熟悉的常见变换，那若不是常见变换，又该如何求特征值与特征向量呢？有没有更一般的方法呢？ 例2 求出变式1中矩阵A，B，C，D的特征值和特征向量 变式1求下列矩阵的特征值和特征向量: (1) (2) 变式2 已知α是矩阵M属于特征值λ=3的特征向量, 其中M=，α=, 且a+b+m=3 , 求a , b , m . 例3 已知矩阵A = ， （1）求出A的特征值与特征向量。并从几何的直观角度加以解释 （2），求 变式1已知M=,β=, 计算M50β. 变式2若矩阵A有特征向量和，且它们所对应的特征值分别为 （1）求矩阵A及其逆矩阵；（2）求逆矩阵的特征值与特征向量； （3）对任意向量，求 四、课堂练习 1. 下列对于矩阵A的特征值的描述正确的是 （ ） A、存在向量，使得 B、对任意向量，有 C、对任意非零向量，成立 D、存在一个非零向量，有 2.矩阵A = ，其特征多项式为 ，特征值为 3.已知α是矩阵A属于特征值λ=－2的特征向量, 其中A=, α=, 求a , b . 4.求投影变换矩阵的特征值和特征向量，并计算的值，解释它的几何意义。 5. 五、回顾总结 六、课后作业 凤凰新学案 （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）