专题10 勾股定理在翻折中的运用.docxVIP

PAGE PAGE 1 专题10 勾股定理在翻折中的运用 类型一 三角形中的翻折问题 【例1】 已知∠C＝90°，BC＝4，AC＝8．沿DE折叠使点A与点B重合(DE是AB的垂直平分线)，求CE的长． 分析 如图，折叠前后AE＝EB，CE＋EA＝8．设其中一个为x，就可以在Rt△BCE中用勾股定理列方程求解． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC边沿BD折叠使BC与BA重合于点E．AC＝6 AB＝10，求CD的长． 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90o，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处. (1)当∠B＝28o时，求∠CAE的度数；(2)当AC＝6，AB＝10时，求线段DE的长. 【解析】(1)在Rt△ABC中，∠ABC＝90o，∠B＝28o， ∴∠BAC＝90o－28o＝62o， ∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处， ∴∠CAE＝∠CAB＝×62o＝31o； (2)在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10， ， ∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处， ∴AD＝AC＝6，CE＝DE，∴BD＝AB－AD＝4， 设DE＝，则EB＝BC－CE＝8－， ∵Rt△BDE中，， ，解得，即DE的长为3. 【变式3】如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点 A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（　　） B． C． D． 【解析】根据折叠的性质可知，CD = AC = 3，BC′= BC = 4， ∠ACE = ∠DCE，∠BCF = ∠B′CF，CE⊥AB， ∴B′D = BC - AC = 4 - 3 = 1， ∠DCE + ∠B′CF = ∠ACE + ∠BCF， ∵∠ACB = 90°，∴∠ECF = 45°， ∴△ECF为等腰直角三角形， ∴EF = CE，∠EFC = 45°，∴∠BFC = ∠B′FC = 135°， ∴∠B′FD = 90°， ∵ = AC·BC = AB·CE， ∴AC·BC = AB·CE， ∵AC = 3，BC = 4，∠ACB = 90°， ∴根据勾股定理得AB===5， ∴CE =，∴EF = ， ∴ED = AE == ， ∴DF = EF - ED = ， ∴B′F = = ， 【答案】B. 【变式4】如图，直角三角形纸片ACB，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，将其折叠，使点C落在斜边上的点C ′，折痕为AD；再沿DE折叠，使点B落在DC′的延长线上的点B′处．（1）求∠ADE的度数；（2）求折痕DE的长． 【解析】（1）因为折叠，所以∠ADC=∠ADC′, ∠BDE=∠B′DE, 所以DA平分∠CDB′，DE平分∠BCB′， 所以∠ADE=×180o＝90°； （2）在直角△ABC中，AB=5，AC=3，所以BC=4； 因为AC=AC′，所以AC′=3，所以BC′=5-3=2， 在直角△BDC′中，设CD=x，所以C′D=x，BD=4-x，BC′=2， 所以x2+22=(4-x)2，x=；所以BD=B′D=4-=； 所以B′C′=-=1，设C′E=x，所以B′E=BE=2-x， 在直角△B′EC′中，12+x2=(2-x)2，x=， 所以DE=； 【变式5】如图所示，在△ABC中，D是边AC中点，连接BD，将△ABD沿线段BD翻折后得△A’BD，其中A’C＝4，AD＝4，，则D到AB边的距离为( ) A. B. C. D. 【解析】连接AA’，延长AD交AA’于点G，过点D作DH⊥AB于H，如图所示： ∵D是边AC中点，∴AD＝CD， ∵将△ABD沿线段BD翻折后得△A’BD，∴AD＝A’D， ∴，∴∠AA’C＝90o， ∵AC＝4，AD＝4，∴A’D＝A’C＝CD，∴△A’CD是等边三角形，∴∠ACA’＝60o， ∴∠A’AC＝30o，， ∵AB＝A’B，∴∠ABG＝∠A’BA，∴BG⊥A’A， , ， ， ，∴点D到AB边的距离为. 【答案】D 类型二 矩形中的翻折问题 【例2】如图，矩形ABCD中，AB边沿AF折叠，使AB与DC交于点E，AB＝10，BC＝8．求CF的长． 【变式1】如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ） A．3 B．4