定积分及其应用.pdfVIP

第5章 定积分及其应用 本章讨论积分学的第二个问题——定积分．定积分是某种特殊和式的极限，它是从大 量的实际问题中抽象出来的，在自然科学与工程技术中有着广泛的应用． 本章主要讲授定积分的定义、性质，积分上限函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式，定 积分的换元法和分部积分法，广义积分，以及定积分在几何、物理、经济上的应用等． 通过本章的学习，学生能够理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件； 掌握定积分的基本性质和对积分上限函数求导数的方法；能利用牛顿-莱布尼兹公式和定积 分的换元法、分部积分法计算定积分；了解广义积分收敛和发散的概念，会求广义积分； 会用定积分求平面图形的面积和简单的旋转体的体积，会用定积分解决沿直线运动时变力 所做的功等实际问题． 5.1 定积分的概念与性质 5.1.1 引例 1．曲边梯形的面积 设函数f (x)在区间[a,b]上连续，且f (x)0．由曲线yf (x) ，直线xa，xb 以 及 轴所围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1所示），下面讨论如何求该曲边梯形的面x 积． 不难看出，该曲边梯形的面积取决于 区间[a,b]及曲边yf (x) ．如果yf (x) 在[a,b]上为常数，此时曲边梯形为矩形， 则其面积等于 h(ba) ．现在的问题是 在 上是非常数函数，因此它的 f (x) [a,b] 面积就不能简单地用矩形面积公式计 算．但是，由于 在 上连续，当x f (x) [a,b] 变化不大时，f (x)变化也不大，因此，如 图5-1 果将区间分割成许多小区间，相应地将曲 边梯形分割成许多小曲边梯形，每个小区 第5章 定积分及其应用 113 间上对应的小曲边梯形可以近似地看成小矩形．所有的小矩形面积的和，就是整个曲边梯 形面积的近似值．显然，分割得越细，近似的程度越好．当分割无限细密时，小矩形面积 之和的极限就是所要求的曲边梯形的面积． 根据上面的分析，曲边梯形的面积可按下述步骤来计算： （1）分割 在区间 内任取 个分点，依次为 [a,b] n1 ax x x x x b， 0 1 2 n1 n 它们将区间 分割成 个小区间 [a,b] n [x ,x ] （i1，2，，n ）， i1 i 并用 表示每个小区间[x ,x ]的长度，即