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空间图形的基本关系与公理 一. 教学内容： 空间图形的基本关系与公理 二. 学习目标： 1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形 的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理； 2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通 过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法； 3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。 三、知识要点 （一）空间位置关系： I、空间点与线的关系 空间点与直线的位置关系有两种：点P在直线 上： ；点P在直线 外： ； II、空间点与平面的关系 空间点与平面的位置关系有两种：点P在平面 上： 点P在平面 外： ； III、空间直线与直线的位置关系： IV、空间直线与平面的位置关系： V、空间平面与平面的位置关系：平行；相交 1 说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。 （二）异面直线的判定 1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可； 2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线 是异面直线。 （三）平面的基本性质公理 1、公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平 面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。 2、公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。 3、公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共 直线 4、平面的基本性质公理的三个推论 经过直线和直线外一点，有且只有一个平面； 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 经过两条平行直线，有且只有一个平面 思考： 公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？ 平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？ （四）平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线平行。 （五）等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 （六）空间四边形：顺次连接不共面的四点构成的图形称为空间四边形。 【典型例题】 考点一 空间点线面位置关系的判断：主要判断依据是平面的基本性质公理及其推论， 平行公理、等角定理等相关结论。 1. 下列命题： 空间不同的三点可以确定一个平面； 有三个公共点的两个平面必定重合； 空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面； 2 ④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形； ⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。 其中正确的命题是 。 解：⑥。 例2. 空间中三条直线可以确定几个平面？试画出示意图说明。 解：0个、1个、2个或3个。分别如图（图中所画平面为辅助平面）： 考点二 异面直线的判断：主要依据是异面直线的定义及判定定理。 例3. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这 四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是____________________？ 解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。 考点三 “有且只有一个”的证明：一般地，此类题型的证明需要分为两个步骤，分别 证明“有”即存在性和“只有一个”即唯一性。 例4. 求证：过两条平行直线有且只有一个平面。 已知：直线a∥b。 求证：过a，b有且只有一个平面。 证明： 存在性：由平行线的定义可知，过平行直线a，b有一个平面。 3 唯一性（反证法）：假设过a，b有两个平面 。在直线 上任取两点A、B，在直