Gauss型积分公式分析和总结.pdfVIP

Gauss 型积分公式 摘要 求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方 法，但是，在实际问题计算中， 往往仅给出函数在一些离散点的值，它的 解析表达式没有明显的给出， 或者，虽然给出解析表达式， 但却很难求得 其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。 当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是 除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。已知 n+1 点的 Newton-Cotes 型积分公式，当 n 为奇数时，其代数精度为 n；当 n 为偶数时，其代数精度达到 n+1。若对随机选取的 n+1 个节点作插值型积 分公式也仅有 n 次代数精度。 如何选取适当的节点，能使代数精度提高？ Gauss型积分公式可是实 现这一点， 但是 Gauss型求积公式， 需要被积函数满足的条件是正交， 这 一条件比较苛刻。 因此本实验将针对三种常用的 Gauss型积分公式进行讨 论并编程实现。 关键词： Newton-Cotes 型积分公式 正交多项式 代数精度 1、实验目的 1) 通过本次实验体会并学习 Gauss 型积分公式， 在解决如何取节点能提 高代数精度这一问题中的思想方法。 2) 通过对 Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现， 提高自己的 编程能力。 3) 用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。 2、算法流程 下面介绍三种常见的 Gauss 型积分公式 1) 高斯 - 勒让德（ Gauss-Legendre ）积分公式 勒让德（ Legendre ）多项式 如下定义的多项式 称作勒让德多项式。由于 是 次多项式，所以 是 n 次多项 式，其最高次幂的系数 与多项式 的系数相同。也就是说 n 次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式 是在 上带 的 n 次正交多项式，而且 这时 Gauss 型积分公式的节点就取为上述多项式 的零点，相应的 Gauss 型积分公式为 此积分公式即成为高斯 - 勒让德积分公式。 其中 Gauss-Legendre 求积公式的系数 1 其中 k 的取值范围为 Gauss 点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以 给出如下表所示的部分 Gauss点 和系数 ，在实际应用中只需查表 即可。 n x A n x A 0 2 0 1 0 2 6