线性代数二次型.ppt

线性代数二次型 第1页，共41页。 ●二次型的概念 定义 叫做二次型。 含有n个自变量 的二次齐次函数 如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型。 例如 是二次型 不是二次型 我们要研究它的什么问题? 第2页，共41页。 为平面上一条二次曲线 经坐标变换: 几 何 背 景 第3页，共41页。 为空间上一二次曲面的一般形式 经坐标变换: 几 何 背 景 第4页，共41页。 经坐标变换 1、这种结果能否推广到四元，甚至n元二次型上去？ 2、如果可以，相应的变换如何寻找，结果如何实现？ 现有两个问题： 第5页，共41页。 二次型 f 对称矩阵 A 对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩 一一对应 二次型可表示为 矩阵形式 （其中A为对称矩阵） ●二次型的矩阵及其秩 第6页，共41页。 例4.14 设二次型 求（1）f的矩阵A; （2） 当X= 时，求f的值。 解: （1） （2） 第7页，共41页。 例4.15 设B为n阶方阵， 因为 求证　二次型 矩阵是 证明 所以 由于 是一代数式，故 则 从而　二次型 矩阵是 第8页，共41页。 例4.16 求二次型 的矩阵A,并求f的秩。 解: 由例4.15，得到 由于 故f的秩为2。 则 由于对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩， 如何求二次型的矩阵？ 第9页，共41页。 例4.17 求二次型 经过线性变换 解: 之后的表达式。 令 有 则 第10页，共41页。 只含平方项的二次型 对应的矩阵为对角形矩阵 第11页，共41页。 ●二次型的标准形 定义 就称此二次型为原来二次型的标准形。 如果二次型 经过可逆线性变换x=Hy变成y的二次型 第12页，共41页。 定理1 经过可逆线性变换后，二次型的秩不变。 如例4.17 经线性变换 化得标准形 第13页，共41页。 ●用配方法把二次型化成标准型 作线性变换 即 解 可得二次型的标准形 例 第14页，共41页。 定义 设A,B为 n 阶方阵,如果存在 n 阶可逆矩阵C,使得 则称矩阵A与B是合同的, 称矩阵C为 合同变换矩阵. 结论 实对称矩阵一定与对角形矩阵合同。 第15页，共41页。 证明 A是对称矩阵，则 AT=A。 于是 （1） （2） 定理4.10 对于任意可逆矩阵C, 令 如果 A 是对称 矩阵,则B也是对称矩阵, 且R(A)=R(B). 第16页，共41页。 ●将二次型化为标准形的实质问题 一般形式 化为标准形式 经可逆变换 本质问题：寻找可逆矩阵P，使得 回顾上一章知识，能否解决？如何解决？ 上一章的结论: 对于实对称阵A, 一定存在正交阵P使得A相似对角阵, 即: 第17页，共41页。 证：由于A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使 ●用正交变换化二次型为标准型 对 作 正交变换 则有 定理4.11 任给二次型 总有正交变换x=Py 使 f 化为标准形 其中 为A的所有特征值. 第18页，共41页。 正交变换 对称矩阵A 正交矩阵P 用正交变换化二次型为标准型 第19页，共41页。 ●用正交变换化二次型为标准型的具体步骤 2.求矩阵A的特征值 3. 对每个特征值 ，求对应的特征向量 4. 将特征向量正交化、单位化，得到 1. 写出二次型的矩阵A 5. 构造正交矩阵，写出相应的正交变换及标准形 正交矩阵 正交变换 标准形 第20页，共41页。 得特征值 可顺次求得单位特征向量 例 用正交变换，化下列二次型为标准形 解 二次型的矩阵为 由 令 则经正交变换 ，可得标准形 第21页，共41页。 例、试用正交变换化二次型 为标准型 矩阵A的特征多项式为 特征值 正交化 得线性无关的特征向量 可得特征向量 解: 第22页，共41页。 单位化 作正交变换 代入f ，得到标准型 第23页，共41页。 例 求下列平面图形所围图形的面积： 解 A 的特征值为 经过正交变换 曲线可化为标准形 第24页，共41页。 ●惯性定律 对于同一个二次型的标准形，非零项的个数是固定的(称为二次型的惯性指标），等于二次型的秩，且正项的个数是固定的（称为正惯性指标），负项的