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[研究生入学考试题库]考研数学一模拟613 一、选择题(下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)问题:1. . 则常数a，b的值为______A.a=4，b=1B.a=-4，b=1C.a=4，b=-1D.a=-4，b=-1答案:A[考点] 求极限中的参数[解析] 由知. 故，于是. 故b=1，而. 于是，故a=4. 即有. 选A.问题:2. 设f(x)=xe2x-2x-cosx，它的零点的个数______．A.没有．B.正好1个．C.正好2个．D.多于2个．答案:C[解析] f(0)=-1＜0，f(-1)=-e-2+2-cos1＞0，f(1)=e2-2-cos1＞0．所以在区间(-1，0)与区间(0，1)内分别至少有1个零点．f(x)=e2x+2xe2x-2+sinx=2xe2x+(e2x-1)+(sinx-1)，当x＜0时f(x)＜0，所以在区间(-∞，-1]内f(x)无零点，在区间(-1，0)内正好一个零点． f(x)=4e2x+4xe2x+cosx  =4(1+x)e2x+cosx  =(4e2x+cosx)+4xe2x．  可见无论x∈(-1，0)还是x∈[0，+∞)，f(x)＞0，所以在区间(-1，+∞)内f(x)至多有2个零点，而前已证明f(x)在(-1，1)内至少有2个零点，所以f(x)正好有2个零点． 问题:3. 设常数k＞0，函数在(0，+∞)内的零点个数为A.3．B.2．C.1．D.0．答案:B[解析] 因为f(0+)=-∞，又  所以f(e)=k＞0为极大值，且， 于是f(x)在(0，e)和(e，+∞)上分别恰有一个零点，故选(B)． 问题:4. 设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为______A.α1，α3．B.α1，α2．C.α1，α2，α3．D.α2，α3，α4．答案:D[解析] 首先，4元齐次线性方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-r(A*)，其中r(A*)为A*的秩，因此求r(A*)是一个关键．其次，由Ax=0的基础解系只含1个向量，即4-r(A)=1，得r(A)=3，于是由r(A*)与r(A)的关系，知r(A*)=1，因此，方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-r(A*)=3，故选项A、B不对．再次，由(1，0，1，0)T是方程组Ax=0或x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0的解，知α1+α3=0，故α1与α3线性相关，于是只有选项D正确． 本题综合考查基础解系、伴随矩阵、矩阵的秩、线性方程组的向量形式及向量组的线性相关性等基本概念．其中，n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数(即Ax=0的解空间的维数)为n-r(A)，以及r(A)与r(A*)的关系等概念，已考过多次，属于线性代数中很基本也很重要的一些结论，应该深刻理解． 问题:5. 位于两圆x2+y2=2y与x2+y2=4y之间的质量分布均匀的薄板重心坐标是______ A． B． C． D． 答案:B[考点] 平面上均匀薄板重心的坐标[解析] 薄板占有的平面区域为 D={(x，y)|2y≤x2+y2≤4y}  ={(r，θ)|0≤θ≤π，2sin θ≤r≤4sin θ}.   不妨设面密度μ=1，则. D关于x=0(y轴)对称，故；  于是. 从而重心的坐标为. 选B.问题:6. 已知矩阵A和B相似，其中  则 A.x=0，y=2．B.x=0，y=-2．C.x=0，y=-3．D.x=1，y=-3．答案:B[解析] 因为B为对角矩阵，又A～B，所以A有特征值-1，2，y， 而特征方程为  |λE-A|=(λ+2)[λ2-(x+1)λ+(x-2)]，  将λ=-1代入得x=0，又由trA=trB，即-2+x+1=-1+2+y，得y=-2．  故选B． 问题:7. 设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且=a，g(x)=，则______A.x=0必是g(x)的第一类间断点．B.x=0必是g(x)的第二类间断点．C.x=0必是g(x)的连续点．D.g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关．答案:D[解析] 因为(令u=)，又g(0)=0，故 当a=0时，=g(0)，即g(x)在点x=0处连续； 当a≠0时，≠g(0)，即x=0是g(x)的