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[研究生入学考试题库]考研数学一模拟513 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．问题:1. 设当|x|＜1时展开成收敛于它自身的幂级数f(x)=，则关于它的系数an(n=0，1，2，…)成立的关系式为______A.an+2=an+1+an．B.an+3=an．C.an+4=an+2+an．D.an+6=an．答案:D[解析] 由，得f(0)=1，再由 f(x)(x2-x+1)=x+1， (*)  两边对x求一阶导数，得f(x)(x2-x+1)+f(x)(2x-1)=1．  将x=0代入，得f(0)-f(0)=1，f(0)=f(0)+1=2．  将(*)式两边对x求n阶导数，n≥2，有   以x=0代入，得  即f(n)(0)=nf(n-1)(0)-n(n-1)f(n-2)(0)，n=2，3，…．  又因为  所以有  或写成an+2=an+1-an，n=0，1，2，…． (**)  现在验算A，B，C，D中哪一个正确．  显然，由递推公式(**)知，A的左边an+2=an+1-an，仅当an=0时才有A的左边等于A的右边，故A不正确．再验算B，B的左边  an+3=an+2-an+1=an+1-an-an+1=-an，  所以仅当an=0时B的左边等于B的右边，故B不正确．  再验算C，C的左边  an+4=an+3-an+2=an+2-an+1-an+2  =an+1．  C的右边an+2+an=an+1-an+an=an+1．  C的左边等于C的右边，得an+1=0，n=0，1，2，…．但这不正确，所以C也不对．  余下只有D．  以下也可直接验算D正确．由已证(**)式，所以对一切n，有  an+6=an+5-n+4-an+3-an+4=-an+3，  从而an+5=-an+3=-(-an)=an，n=0，1，2，…．  所以D正确． 问题:2. 设函数y(x)是初值问题(a为常数)的解，则______A.0是y(x)的极小点．B.0是y(x)的极大点．C.0不是y(x)的极值点．D.0是否是y(x)的极值点与a的取值有关．答案:A[解析] 由y-asin2y-x=0，得y-2asiny·cosy·y-1=0，则 y(0)=asin2y(0)+x=0，  y(0)=2asiny(0)·cosy(0)·y(0)+1=1，  所以y(x)在0处取极小值． 问题:3. 设，则关于f(x)的单调性的结论正确的是______A.在区间(-∞，0)内是严格单调增，在(0，+∞)内严格单调减．B.在区间(-∞，0)内是严格单调减，在(0，+∞)内严格单调增．C.在区间(-∞，0)与(0，+∞)内都是严格单调增．D.在区间(-∞，0)与(0，+∞)内都是严格单调减．答案:C[解析] 取其分子，令 φ(x)=xex-ex+2，  有φ(0)=1＞0，φ(x)=xex，当x＜0时φ(x)＜0；当x＞0时φ(x)＞0．所以当x＜0时，φ(x)＞0；当x＞0时，也有φ(x)＞0．故知在区间(-∞，0)与(0，+∞)内均有f(x)＞0．从而知f(x)在区间(-∞，0)与(0，+∞)内均为严格单调增． 问题:4. 设曲线L1为L在第一卦限中的部分，则有 A．  B．  C．  D． 答案:C[解析] 对于f(x，y，z)=x，有f(-x，y，z)=-f(x，y，z)，且L关于yOz面对称，故而，则排除A．同理可排除B、D．对于g(x，y，z)=z，有g(x，-y，z)=g(x，y，z)．且L关于xOz面对称，故(L2为L在xOz面右侧的部分)．又由于g(-x，y，z)=g(x，y，z)，且L2关于yOz面对称，故，即问题:5. 空间n个点Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n，n≥4．矩阵  的秩记为r，则n个点共面的充分必要条件是______ A.r=1．B.r=2．C.r=3．D.1≤r≤3．答案:D[解析] 先举例说明为什么不选A，B，C．例子如下：取点P1(1，1，1)，P2(2，2，2)，P3(3，3，3)，P4(4，4，4)．此4点在一条直线上，显然共面．矩阵  的秩为2，所以不选A，C．又如共面(共面方程x+y+z=1)，矩阵   的秩为3，不选A，B．以下证明D是正确的．证明如下：  设这