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[研究生入学考试题库]考研数学三模拟440 一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)问题:1. 方程在[0，+∞)内不同实根的个数为______A.0．B.1．C.2．D.3．答案:B[解析] 令，则． 由零点定理，存在x0，使得f(x0)=0．  又，其中，|e-cos2xsinx|≤1，故f(x)严格单调，所以，方程只有一个实根，B正确．问题:2. 设f(x)在x＞0时连续，f(1)=3，且  则f(x)=______ A.3lnx+3．B.3lnx-3．C.lnx+3．D.lnx-3．答案:A[解析] 已知等式两边对y求导，得，令y=1，则． ①式两端对x求导，得  f(x)+xf(x)=f(x)+3，  解出，故f(x)=3lnx+C．由f(1)=3，得C=3，故f(x)=3lnx+3，所以，A正确．问题:3. 函数的跳跃间断点的个数为______A.4．B.3．C.2．D.1．答案:D[解析] f(x)在x=0，x=1处间断． 所以，x=0是f(x)的可去间断点． 故x=1是f(x)的跳跃间断点，所以D正确．问题:4. 设f(x，y)连续，则 A．  B．  C．  D． 答案:A[解析] 由已知D：0≤r≤2，，对应的直角坐标D：x2+y2=2x，如图所示，故A正确． 问题:5. 设A是m×n矩阵，m＜m且A的行向量组线性无关，则下列命题错误的是______A.齐次线性方程组ATx=0只有零解．B.齐次线性方程组ATAx=0必有非零解．C.对任意的列向量b，非齐次线性方程组Ax=b必有无穷多解．D.对任意的列向量b，非齐次线性方程组ATx=b必有唯一解．答案:D[解析] 由r(A)=A的行秩=A的列秩，已知A的行向量组线性无关，所以r(A)=m． 对于A，AT是n×m矩阵，r(AT)=r(A)=m，即AT的列向量组线性无关，故ATx=0只有零解．  对于B，ATA是n×m矩阵，由  r(ATA)≤r(A)=m＜n，故ATAx=0必有非零解．  对于C，A是m×n矩阵，r(A)=m，故  r(A)=r(A，b)=m＜n，即Ax=b必有无穷多解．  对于D，AT是n×m矩阵，ATx=b有唯一解r(AT)=r(AT，b)=m，但AT的列向量只是m个线性无关的n维向量(m＜n)，它不能表示任一个n维向量，故ATx=b可能无解，故选D． 问题:6. n阶实对称矩阵A合同于矩阵B的充分必要条件是______ ①r(A)=r(B)．  ②A与B的正惯性指数相等．  ③A与B均为正定矩阵．  ④B是实对称矩阵． A.①成立．B.④成立．C.①与②均成立．D.③成立．答案:C[解析] C正确．设A与B合同，则存在可逆矩阵C，使得CTAC=B，故r(A)=r(B)，且正、负惯性指数不变，即pA=pB．反之，若r(A)=r(B)，且pA=pB，因 pA+qA=r(A)，pB+qB=r(B)，  故qA=qB，所以A与B合同．  ③是充分条件，④是必要条件． 问题:7. 设随机变量X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，设 P1=P{X≤μ-4}，P2=P{Y≥μ+5}，  则______ A.P1＞P2．B.P1＜P2．C.P1=P2．D.无法确定．答案:C[解析] ， ，  故P1=P2，所以C正确． 问题:8. 设X1，X2，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，为样本均值，  则服从t(n-1)的随机变量为______  A． B． C． D． 答案:B[解析] 根据已知条件和t分布的定义，得 二、填空题问题:1. 当x→0时，f(x)=3x-4sinx+sinxcosx是关于x的______阶无穷小．答案:5．[解析]  所以，f(x)是关于x的5阶无穷小(x→0)． 问题:2. 设f(x)=f(x+4)，f(0)=0，且在(-2，2]上有f(x)=|x|，则f(9)=______．答案:[解析] 由已知条件，得  则 由f(0)=0及f(x)的连续性，可知C1=C2=0，故   则 问题:3. 曲线绕x轴旋转一周得一旋转体，若把它在x=0与x=ξ(ξ＞0)之间的部分的体积记为V(ξ)，且，则a=______