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2.4.2　 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;【自主预习】 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2).;2.与向量的模、夹角相关的三个重要公式 (1)向量的模：设a=(x，y)，则|a|=_______. (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则| |=_____________________.;(3)向量的夹角公式：设两非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ， 则cosθ= =_______________.;【即时小测】 1.已知a=(3，2)，b=(5，-7)，则a·b的值是(　　) A.-11 B.11 C.1 D.29 【解析】选C.a·b=3×5+2×(-7)=1.;2.已知平面向量a=(3，1)，b=(x，-3)，且a⊥b，则x等于(　　) A.3　　　　　B.1　　　　　C.-1　　　　　D.-3 【解析】选B.因为a⊥b，所以a·b=0，即3x+1× (-3)=0，解得x=1.;3.已知向量a=(1，2)，b=(x，4)，若|b|=2|a|， 则x的值为(　　) A.-1 B.-2 C.2 D.±2 【解析】选D.由|b|=2|a|得 解得x=±2.;4.已知a=(3，-1)，b=(1，-2)，则向量a与b的夹角 为(　　);【解析】选B.设a，b的夹角为θ， 则cosθ= 因为0≤θ≤π，所以θ= ;【知识探究】 探究点　平面向量垂直、夹角余弦值的坐标表示 1.两个向量垂直条件的坐标表示和平行条件的坐标表示有何区别？ 提示：两个向量垂直条件的坐标表示是“对应相乘和为0”，两个向量平行条件的坐标表示是“交叉相乘差为0”.;2.两个向量数量积的正负和其夹角θ的范围有怎样的关系？ 提示：当x1x2+y1y20时，0≤θ ，当x1x2+y1y2=0 时，θ= ，当x1x2+y1y20时， θ≤π.;【归纳总结】 1.向量垂直的坐标表示 (1)记忆口诀和注意问题 注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“a⊥b?x1x2+y1y2=0”可简记为“对应相乘和为0”；“a∥b?x1y2-x2y1=0”可简记为“交叉相乘差为0”.;(2)可以解决的问题 应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题.;2.向量的夹角的坐标表示 (1)来源：数量积公式的一个变形. (2)适用范围：由向量坐标计算夹角的一个公式，仅适用于两个非零向量.;(3)夹角的取值范围的确定： 由x1x2+y1y2的取值符号确定θ角的取值范围， 其中当x1x2+y1y20时，0≤θ ；当x1x2+y1y20时， θ≤π；当x1x2+y1y2=0时，θ= .;特别提醒：两个向???的数量积大于0，其夹角不一定为锐角，当夹角为0时，数量积也大于0；两个向量的数量积小于0，其夹角不一定为钝角，当夹角为π时，数量积也小于0.;类型一　数量积的坐标运算 【典例】1.(2015·全国卷Ⅱ)已知a=(1，-1)， b=(-1，2)，则(2a+b)·a=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2;2.(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四 边形ABCD是平行四边形， =(1，-2)， =(2，1)， 则 · =(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知向量a与b同向，b=(1，2)，a·b=10，求： (1)向量a的坐标. (2)若c=(2，-1)，求(a·c)·b.;【解题探究】1.在典例1中有几种方法可求(2a+b)·a？ 提示：方法一，先求a2与a·b，方法二，先求2a+b的坐标.;2.在典例2中如何求 的坐标？ 提示：利用 求解.;3.在典例3中根据向量a与b同向，可以将向量a的坐标设为什么形式？ 提示：根据a与b同向，且b=(1，2)， 可以设a=λb=(λ，2λ)(λ0).;【解析】1.选C.由题意可得a2=2，a·b=-3， 所以(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1. 2.选D.因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 =(1，-2)+(2，1)=(3，-1)， 所以 =2×3+1×(-1)=5.;3.(1)因为a与b同向，且b=(1，2)， 所以a=λb=(λ，2λ)(λ0). 又因为a·b=10，所以λ+4λ=10， 所以λ=2，所以a=(2，4). (2)因为a·c=2×2+(-1)×4=0，所以(a·c)·b=0·b=0.;【方法技巧】数量积运算的两个途径 (1)先将各向量用坐标表示，直接进行数量