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S形刃球头立铣刀的数学模型 图1 S形刃球头立铣刀1 引言球头立铣刀是加工模具和复杂型面的重要刀具，也是数控铣床、加工中心等数控设备最常用的刀具。随着数控技术的广泛采用，该类刀具的需求量不断增加。S形刃球头立铣刀与平前刀面球头立铣刀相比有易排屑、耐磨损、加工质量好等优点。已有学者对几种类型的球头铣刀进行了研究，本文针对S形单切削刃球头立铣刀(见图1)的数学模型进行研究。 2 前刀面数学模型前刀面由内前刀面和外前刀面两部分组成。前刀面与球面的交线是理论切削刃。 图2 内前刀面数学模型坐标系内前刀面 内前刀面是锥面的一部分，该锥面的锥轴线平行于铣刀轴线，与球的交线形成图2中AB段切削刃。建立如图2所示坐标系。 坐标系OXYZ：O点为球心，Z轴为铣刀轴线，XOY平面为基本平面。Y轴由X、Z轴右手法则确定，这样确立的切削刃在第一象限。 坐标系O1X1Y1Z1：O1点过球顶点(刀尖)，且是XOY面的平行平面与锥轴线Z1的交点，X1、Y1、Z1轴分别平行于X、Y、Z轴，其中Z1轴是锥轴线。 图2中主要变量说明： r为在X1O1Y1平面内刀尖到O1的距离，是锥半径。Dx为调整参数，以保证切削刃过球顶点。Dy为调整参数，以保证切削刃最高点到XOZ平面的距离。h为变量，确定最高点位置，且保证在最高点处切削刃光滑过渡。 从图2中可以看出，OXYZ和O1X1Y1Z1两坐标系之间换算关系为 (1)半径为R的球在OXYZ坐标系中方程为 x2+y2+z2=R2 (2)在X1O1Y1Z1坐标系中，锥面初始母线的方程为 rs1=r1+l (3)在图2中 r1={-rsin(h) rcos(h) 0} l={-lsin(f)sin(h) -lsin(f)cos(h) lcos(f)} (4)式中l、(h)为变量，(f)是锥半角。 则 (5)在O1X1Y1Z1坐标系中，初始母线rs1绕Z1轴旋转形成锥面，设向径为rE1，转角为b，则 (6)把rE1转换到OXYZ坐标中，则内前刀面方程为 (7)其中h、b、l为变量，且 b∈[0,(p/2)-h+arcsin(Dy-R)] (8) 图3 外前刀面数学模型坐标系外前刀面 外前刀面是有径向前角gr和轴向前角ga的平面，此平面与内前刀面相切，其和球相交形成图2中BC段理论切削刃。建立图3坐标系，图中OXYZ坐标系和图2中OXYZ坐标系一样。外前刀面过球面切削刃的最高点B点。B点坐标的确定要保证切削刃在B点光滑过渡，即保证AB段切削刃和BC段切削刃在B点有相同的螺旋角。 这样，平前刀面的两个方向向量为ga和gr，其中 ga={0 -sin(ga) -cos(ga)} (9)gr={cos(gr) sin(gr) 0} (10)所以平前刀面的法向量为 (11)设平面上任一点为P(x，y，z)，B(xk，yk，zk)，则外前刀面方程为 (P-B)N=0 (12)即 sin(gr)cos(ga)x-cos(gr)cos(ga)y+cos(gr)sin(ga)z =sin(gr)cos(ga)xk-cos(gr)cos(ga)yk+cos(gr)sin(ga)zk =h(13)3 后刀面数学模型后刀面由螺旋部分和平面部分组成。 图4 后刀面螺旋部分数学模型坐标系后刀面螺旋部分 建立图4坐标系，图中OXYZ坐标系和图2中OXYZ坐标系相同。O2X2Y2Z2坐标系的原点O2在OXYZ坐标系中的坐标为(d，0，0)，Y2、Z2轴分别与Y、Z轴平行，X2轴和X轴重合。 坐标系OXYZ和O2X2Y2Z2之间换算关系为 (14)后刀面螺旋部分是初始直线CF(在XOY平面内)绕Y2轴旋转同时绕Z轴旋转形成的螺旋面。C点在球面上，是切削刃的初始点，在OXYZ中坐标为(XC，YC，0)。 直线CF上任一点mc在OXYZ中方程为 rmc=(xc l 0) (15)式中l为变量。Xc确定了初始直线的位置，同时也确定了砂轮的初始位置，其值可由理论切削刃和XOY平面交点确定。 CF转换到坐标系O2X2Y2Z2中方程为 rmc2=(xc-d l 0) (16)2X2Y2Z2坐标系中，CF绕Y2轴旋转。设转角为q，向径为rm2，所以 (17)把rm2转换到OXYZ坐标系中，设向径为rm (18)在坐标系OXYZ中rm绕Z轴旋转形成了后刀面螺旋部分。设转角为F，向径为r，则后刀面螺旋部分方程为 (19)其中q、F、l为变量，按右手法则，F应取负值，d为调整参数，xc为定值。 图5 后刀面平面部分数学模型坐标系磨刀时，q和F的实际意义是：q为砂轮绕某轴线的转角，而此轴线要通过调整d确定。F对应与铣刀的自转角，为使切削刃在球面上，q和F之间应有一定的关